0.6 Основни својства на функциите  (Page 3/3)

Функцијата е монотоно опаѓачка ако важи

Ако во дефиницијата за монотоно растечка функција знакот за стриктно неравенство $f(x_2)>f(x_1)$ се замени со $f(x_2)\ge f(x_1)$ , функцијата се нарекува монотоно неопаѓачка , и анлогно се дефинира и монотоно нерастечка функција.

Парност и непарност на функција

Ако дефиниционата област $D\subseteq R$ на функцијата $f$ е таква што од $(x\in D)\Rightarrow (-x\in D),$ дефиниционата област се нарекува симетрична .

Дефиниција.

Функцијата $f(x)$ се нарекува парна функција ако важи равенството

$f(-x)=f(x),(\forall x\in D_f)\text{.}$

Парните функции имаат симетрична дефинициона област и нивниот график е осно симетричен, при што оска на симетрија е $y-$ оската.

Дефиниција.

Функцијата $f(x)$ се нарекува непарна ако важи равенството

$f(-x)=-f(x),(\forall x\in D_f)\text{.}$

Исто така и непарните функции имаат симетрична дефинициона област и нивниот график е симетричен, но симе­тријата е централна при што центарот на симетрија е координатниот почеток.

Постојат и функции кои не се ни парни ни непарни. За таквите функции не постои никаква симетрија на графикот и на дефиниционата област.

Периодичност на функција

Дефиниција.

Функцијата $y=f(x)$ се нарекува периодична со период $T$ ако е точно равенството

$f(x+T)=f(x)$ .

Периодичноста на функција означува дека графикот од еден основен интервал со должина $T$ се повторува и лево и десно од наведениот интервал во истиот облик како во основниот интервал. Од дефиницијата за периодичност следува дека и

$f(x+\text{kT})=f(x)$

при што $k$ е цел број. Во изучување на периодичните функции доволно е да се проучи функцијата само во интервалот , а потоа сите нејзини вредности се трансла­ти­раат на лево и десно за наведениот период во целата дефинициона област.

Тригонометриските функции се периодични. Функциите $\text{sin}x$ и $\text{cos}x$ се со период $T=\mathrm{2\pi }$ , додека за функциите $\text{tgx}$ и $\text{ctgx}$ периодот $T=\pi$ .

Инверзна функција

Нека со функцијата $f$ е определено обратноеднозначно пресликување од $D$ во $G$ кое се означува со $f:D\to G$ . Тогаш $\forall y\in G$ одговара единствено $x$ такво што $y=f(x)$ . Кореспонденцијата $y\mapsto x$ го дефинира пресликувањето $G\to D$ кое се нарекува инверзно пресликување на $f$ или инверзна функција и се означува со $f^{-1}$ .

Притоа важи

$f(f^{-1}(y))=y$ за ( $\forall y\in G$ )

и

$(f^{-1}{)}^{-1}=f\text{.}$

Инверзните функции $y=f(x)$ и $y=f^{-1}(x)$ се симетрични во однос на правата $y=x$ (симетралата на првиот и третиот квадрант). Оваа особина се користи за скицирање на графикот на функцијата $f^{-1}(x)$ ако се знае графикот на функцијата $f(x)$ и обратно.

Ефективно, за да се определи инверзна функција за дадена функција $y=f(x)$ потребно е од дадената функција променливата $x$ да се изрази преку $y$ и потоа $x$ и $y$ да си ги заменат местата.