1. Home
  2. Функции од една реaлнa промeнлива
  3. Функции од една реaлнa промeнлива
  4. Основни својства на функциите

0.6 Основни својства на функциите

<< Chapter < Page
  Функции од една реaлнa промeнлива     Page 1 / 3
Chapter >> Page >
Во овој модул се дефинираат основните својства на функциите како: дефинициона област, ограниченост, монотоност, периодичност на функција и инверзна функција.

Основни својства на функциите

Ќе ги наведеме основните својства (особини) на функциите.

Дефинициона област на функција

Дефиниција.

Нека е зададена функцијата f : D → G , ( D , G ⊆ R ) . size 12{f:D rightarrow G, \( D,G subseteq R \) "." } {} Множеството релани броеви D size 12{D} {} од кое аргументот на функцијата прима вредности се нарекува дефинициона област или домен на функцијата f size 12{f} {} и се означува со D f size 12{D rSub { size 8{f} } } {} . Множеството G size 12{D} {} е множество од вредности на функцијата f size 12{f} {} и се нарекува уште и кодомен .

Кога ќе се каже дека функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} е дефинирана (определена) за една вредност x = a size 12{x=a} {} , тоа значи дека постои f ( a ) size 12{f \( a \) } {} и таа вредност може да се определи. Ако функцијата е дефинирана за секоја вредност од интервалот ( a , b ) , size 12{ \( a,b \) ,} {} за неа се вели дека е дефинирана на тој интервал. Дефиниционата област се определува во зависност од аналитичкиот израз со кој е зададена функцијата. Дефиниоционата област на функција може да биде множеството реални броеви или кеkое негово подмножество како интервал (отворен, затворен, полуотворен и полузатворен), унија од интервали или од изолирани точки.

Ќе се прикажат дефиниционите области на некои карактеристични функции.

  • Дефинициона област на функцијата полином

Ако функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е зададена со полином, нејзината дефинициона област е целото множество R или D f = ( − ∞ , + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Пример 1.

Функциите

y = x 2 , y = 3x 4 − 7x 2 + 10 , y = − 25 x 7 + 4,5 x 6 + x 3 − 12 x + 5 size 12{y=x rSup { size 8{2} } ,~y=3x rSup { size 8{4} } - 7x rSup { size 8{2} } +"10",~y= - "25"x rSup { size 8{7} } +4,5x rSup { size 8{6} } +x rSup { size 8{3} } - "12"x+5} {}

се дефинирани за секој реален број и нивната дефициона област е

D f = ( − ∞ , + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата парен корен

Ако функцијата се наоѓа под парен корен,

y = f ( x ) 2k , ( k ∈ N ) size 12{y= nroot { size 8{2k} } {f \( x \) } ,~ \( k in N \) } {} ,

дефиниционата област се определува од неравенството f ( x ) ≥ 0 . size 12{f \( x \)>= 0 "." } {}

Пример 2.

Функцијата y = x + 1 size 12{y= sqrt {x+1} } {} е дефинирана за x + 1 ≥ 0, size 12{x+1>= 0,``} {} односно x ≥ − 1 size 12{x>= - 1} {} и се пишува D f = [ − 1, + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \[ - 1,`+ infinity \) "." } {}

Пример 3.

За да се определи дефиниционата област на функцијата

y = x − 1 + 2 1 − x + x 2 + 1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} ,

функцијата y size 12{D} {} се запишува како сума од три функции

y = f 1 + f 2 + f 3 size 12{y=f rSub { size 8{1} } +f rSub { size 8{2} } +f rSub { size 8{3} } } {}

каде

f 1 = x − 1 , f 2 = 1 − x , f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} ,`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} ,`f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {}

и за секоја од овие помошни функции се определува дефиниционата област.

За функцијата f 1 = x − 1 size 12{f rSub { size 8{1} } = sqrt {x - 1} } {} дефинициона област е D f 1 = [ 1, + ∞ ) size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } = \[ 1,`+ infinity \) } {} ;

За функцијата f 2 = 1 − x size 12{`f rSub { size 8{2} } = sqrt {1 - x} } {} дефинициона област е D f 2 = ( − ∞ , 1 ] size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{2} } } } = \( - infinity ,`1 \] } {} ;

За функцијата f 3 = x 2 + 1 size 12{f rSub { size 8{3} } = sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} дефинициона област е D f 3 = ( − ∞ , + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f rSub { size 6{3} } } } = \( - infinity ,`+ infinity \) "." } {}

Заедничката дефинициона област ке биде пресекот на овие поединечни области

D f = D f 1 ∩ D f 2 ∩ D f 3 = { 1 } , size 12{D rSub { size 8{f} } =D rSub { size 8{f rSub { size 6{1} } } } intersection D rSub {f rSub { size 6{2} } } size 12{ intersection D rSub {f rSub { size 6{3} } } } size 12{ {}= lbrace 1 rbrace ,}} {}

што значи дека функцијата y = x − 1 + 2 1 − x + x 2 + 1 size 12{y= sqrt {x - 1} +2 sqrt {1 - x} + sqrt {x rSup { size 8{2} } +1} } {} е дефинирана само во точката x = 1 . size 12{x=1 "." } {}

  • Дефинициона област на функцијата количник

y = f ( x ) g ( x ) size 12{y= { {f \( x \) } over {g \( x \) } } } {} ,

дефиниционата област се определува од условот g ( x ) ≠ 0 size 12{g \( x \)<>0} {} и од дефинираноста на самите функции f size 12{f} {} и g size 12{g} {} .

Пример 4.

За функцијата y = x 2 + 2 x 2 − 1 size 12{y= { {x rSup { size 8{2} } +2} over {x rSup { size 8{2} } - 1} } } {} дефиниционата област се определува од условот x 2 − 1 ≠ 0 size 12{x rSup { size 8{2} } - 1<>0} {} , односно x 2 ≠ 1 size 12{x rSup { size 8{2} }<>1} {} или x ≠ ± 1 size 12{x<>+- 1} {} , што значи дека од множеството на реални броеви се отфрлаат двете точки x = ± 1 size 12{x<>+- 1} {} и функцијата е дефинирана на три интервала

D f = ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( − 1,1 ) ∪ ( 1, + ∞ ) . size 12{D rSub { size 8{f} } = \( - infinity , - 1 \) union \( - 1,1 \) union \( 1,+ infinity \) "." } {}

За вежба, погледајте ги долунаведените линкови:

Решени примери-1 за определување на дефинициона област на едноставни алгебарски функции со користење на ознаки за множества.

Решени примери-2 за определување на дефинициона област на алгебарски функции со користење на ознаки за интервали.

Решени примери-3 за определување на дефинициона област на функции под квадратен корен.
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Функции од една реaлнa промeнлива. OpenStax CNX. Oct 16, 2013 Download for free at http://cnx.org/content/col10490/1.7
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Функции од една реaлнa промeнлива' conversation and receive update notifications?

Ask