0.6 Основни својства на функциите  (Page 2/3)

Пример 5.

Дефиниционата област на функцијата $y=\sqrt{\text{ln}\frac{\mathrm{5x}-x^2}{4}}$ ќе се определи од следните услови:

Првиот услов $\frac{\mathrm{5x}-x^2}{4}>0$ го определува логаритамската функција (дефинирана е само за позитивни вредности на аргументот);

Вториот услов $\text{ln}\frac{\mathrm{5x}-x^2}{4}\ge 0$ е определен од дефинираноста на функцијата квадратен корен.

Првиот услов доведува до квадратното неравенство $\mathrm{5x}-x^2>0$ кое е точно за вредности на аргументот помеѓу корените на квадратната равенка $\mathrm{5x}-x^2=0$ и тоа е интервалот (0, 5).

Вториот услов $\text{ln}\frac{\mathrm{5x}-x^2}{4}\ge 0$ е точен кога $\frac{\mathrm{5x}-x^2}{4}\ge 1$ , односно $\mathrm{5x}-x^2\ge 4$ , што доведува до квадратно неравенство $-x^2+\mathrm{5x}-4\ge 0$ кое е точно за вредности на $x$ меѓу корените на соодветната квадратана равенка $-x^2+\mathrm{5x}-4=0$ , односно тоа е интервалот [1, 4].

Пресекот на интервалите добиени од двата услова ја определуваат дефиниционата област на функцијата и $D_f=(\mathrm{0,5})\cap [\mathrm{1,4}]=[\mathrm{1,4}]\text{.}$

Пример 6.

Дефиниционата област на функцијата

$y=\sqrt{3-x}+\text{arcsin}\frac{3-\mathrm{2x}}{5}$

ќе се определи како пресек на дефиниционите области на секоја поединечна функција од сумарната функција.

Првата функција $y_1=\sqrt{3-x}$ е дефинирана за или во интервалот $(-\infty ,3]$ .

Втората функција $y_2=\text{arcsin}\frac{3-\mathrm{2x}}{5}$ е дефинирана за . Ова продолжено неравенство не доведува до следните две неравенства:

првото (лево) неравенство доведува до неравенството

второто (десно) неравенство доведува до $x\ge -1\text{.}$ Заедничкиот интервал на овие две неравенства е интервалот [-1, 4].

Дефиционата област на целата функција се определува како пресек на областите на дефинираност на двете сумарни функции, односно

$D_f=(-\infty ,3]\cap [-\mathrm{1,4}]=[-\mathrm{1,3}]\text{.}$