Поим за извод и негово толкување

Поим за извод и негово толкување

Нека функцијата $y=f(x)$ е дефинирана на интервалот $(a,b)$ и непрекината во околина на точката $x_0\in (a,b)$ . Нека аргументот $x_0$ добие нараснување $\mathrm{\Delta x}$ такво што $x_0+\mathrm{\Delta x}\in (a,b)$ . Вредноста $\mathrm{\Delta x}$ се нарекува нараснување на аргументот, а разликата од вредностите на функцијата $\mathrm{\Delta y}=f(x_0+\mathrm{\Delta x})-f(x_0)$ се нарекува нараснување на функцијата .

Количникот

се нарекува релативно нараснување на функцијата во точката $x_0$ и тоа е нагибот на функцијата. Кога $\mathrm{\Delta x}\to 0$ и $\mathrm{\Delta y}\to 0$ , граничната вредност од нивниот количник $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$ е количник на две бескрајно мали величини. Поимот за извод се дава со следната

Дефиниција.

Нека функцијата $y=f(x)$ е непрекината во околината $V(x_0,\mathrm{\Delta x})$ . Ако постои конечна гранична вредност $\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$ , таа се нарекува извод на функцијата $y=f(x)$ во точката $x=x_0$ и се означува со

Во граничниот процес со кој се дефинира изводот не е важно дали нараснувањето на аргументот се врши преку негово позитивно или негативно нараснување. Операцијата барање на извод на функција се нарекува диференцирање на функцијата.

Изводот на функцијата $y=f(x)$ се означува со некоја од ознаките:

$f^{\text{'}}(x)$ , $y^{\text{'}}$ , $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ , $\frac{d}{\text{dx}}f(x)$ , $\frac{d}{\text{dx}}y$ .

Бидејки изводот во точката $x_0$ се дефинира преку гранична вредност, се дефинира лев и десен извод.

Дефиниција.

Лев извод на функцијата $y=f(x)$ во точката $x_0$ е

$\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta x})-f(x_0)}{\mathrm{\Delta x}}=f_{-}^{\text{'}}(x_0)$

а десен извод е

$\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta x})-f(x_0)}{\mathrm{\Delta x}}=f_{+}^{\text{'}}(x_0)$

Ако во точката $x_0$ левиот и десниот извод на функцијата $f(x)$ се еднакви, тогаш функцијата има извод во таа точка и

$f_{-}^{\text{'}}(x_0)=f_{+}^{\text{'}}(x_0)=f^{\text{'}}(x_0)$

Преку пример ќе покажеме како се пресметува изводот на функција по дефиниција.

Бидејќи изводот се дефинира преку граничен процес, следува дека функцијата ќе нема извод во точка во која таа е прекината.

Ако функцијата има извод во точка, таа ќе биде непрекината во истата точка.

Обратното тврдење не мемора да важи, т.е. ако функцијата е непрекината во точка таа не мора да има извод во точката. Тоа ќе го илустрираме во следниот пример.