<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Екстремни вредности на функција од една променлива

Во Основни теореми на диференцијалното сметање воведени се поимите за локален екстрем. Така, функцијата y = f ( x ) size 12{y=f \( x \) } {} има локален минимум (максимум) во точката x = x 0 size 12{x=x rSub { size 8{0} } } {} ако вредноста f ( x 0 ) size 12{f \( x rSub { size 8{0} } \) } {} е помала (поголема) од блиските вредности на функцијата кои и претходат или следуваат после оваа вредност на функцијата.

За разлика од локалниот минимум (максимум) на функција, постои и апсолутен минимум (максимум), а тоа е најмалата (најголемата) вредност на функцијата која ја добива на целиот интервал на кој таа се разгледува.

На Сл. 1 е прикажан графикот на функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} на затворениот интервал [ a , b ] size 12{ \[ a,b \] } {} . На овој интервал се испитуваат вредностите на функцијата во локалните екстреми и вредностите на функцијата на краевите од интервалот. Забележуваме дека функцијата има локален максимум во точката x = g size 12{x=g} {} со вредност на функцијата f ( g ) size 12{f \( g \) } {} , а локалниот минимум е во точката x = e size 12{x=e} {} со вредност на функцијата f ( e ) size 12{f \( e \) } {} . Вредностите на функцијата на краевите од интервалот се f ( a ) size 12{f \( a \) } {} и f ( b ) size 12{f \( b \) } {} . Апсолутен минимум е најмалата вредност на функцијата од сите овие вредности, а тоа е локланиот минимум т.е. f ( e ) size 12{f \( e \) } {} . Апсолутниот максимум е најголемата од сите вредности на функцијата, а во наведениот пример тоа е f ( a ) size 12{f \( a \) } {} . Гледаме дека апсолутен екстрем може да се постигне или во локален екстрем или на еден од краевите на интервалот.

Сл.1

Вообичаено е локалниот ектрем да се нарекува само екстрем , затоа понатаму под поимот екстем ќе се подразбира локален екстрем.

Во делот Основни теореми на диференцијалното сметање , со теоремата на Ферма е даден потребниот услов за постоење на екстрем во точката x 0 size 12{x rSub { size 8{0} } } {} , а тоа е таа да биде стационарна точка, односно f ' ( x 0 ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) =0} {} . Секоја стацинорна точка не мора да биде точка на ектрем, тоа е потребен услов, а доволниот услов за екстем може да се спроведе преку две постапки:

  • со извод од прв ред преку испитување на интервалите на монотоност;
  • со извод од повисок ред.

Постапка за испитување на екстрем преку првиот извод

Оваа постапка го користи знакот на првиот извод за утврдување на монотоноста на функцијата на интервал, а се базира на теоремата Лагранж.

За монотоноста (растењето и опаѓањето) на функцијата на итервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} ако важи:

f ' ( x ) > 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \)>0} {} , x ( a , b ) size 12{ forall x in \( a,b \) drarrow } {} функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е строго монотоно растечка;

f ' ( x ) < 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \)<0} {} , x ( a , b ) size 12{ forall x in \( a,b \) drarrow } {} функцијата f ( x ) size 12{f \( x \) } {} е строго монотоно опаѓачка.

Сл. 2. Растечка функција

Навистина, ако на интервалот ( a , b ) size 12{ \( a,b \) } {} функцијата расте, тогаш x 1 , x 2 ( a , b ) size 12{ forall x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } in \( a,b \) } {} и x 1 < x 2 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) size 12{x rSub { size 8{1} }<x rSub { size 8{2} } drarrow f \( x rSub { size 8{1} } \)<f \( x rSub { size 8{2} } \) } {} . Од теоремата на Лагранж следува дека постои точка x 0 ( x 1 , x 2 ) size 12{x rSub { size 8{0} } in \( x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{2} } \) } {} за која ќе важи f ( x 2 ) f ( x 1 ) = f ' ( x 0 ) ( x 2 x 1 ) size 12{f \( x rSub { size 8{2} } \) - f \( x rSub { size 8{1} } \) = { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) \( x rSub { size 8{2} } - x rSub { size 8{1} } \) } {} . Бидејќи функцијата е растечка, знакот на f ' ( x 0 ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \) } {} ќе биде ист со знакот на разликата f ( x 2 ) f ( x 1 ) > 0 size 12{f \( x rSub { size 8{2} } \) - f \( x rSub { size 8{1} } \)>0} {} , т.е. знакот е позитивен и затоа f ' ( x 0 ) > 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \)>0} {} кога функцијата расте (Сл. 2.).

Со аналогна постапка се покажува дека ако f ' ( x 0 ) < 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x rSub { size 8{0} } \)<0} {} , функцијата опаѓа (Сл. 3.).

Сл. 3. Опаѓачка функција

Овој факт ќе се примени во постапка за испитување на екстреми на функција f ( x ) size 12{f \( x \) } {} преку знакот првиот извод и таа постапка се одвива во следните чекори:

1. Со решавање на равенката f ' ( x ) = 0 size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) =0} {} по x size 12{x} {} се добиваат стационарните точки.

2. Секоја стационарна точка се подредува по својата вредност на бројната оска и со нив дефиниционата област се раздробува на таканаречени интервали на монотоност . Во секој од овие интервали изводната функцијата f ' ( x ) size 12{ { {f}} sup { ' } \( x \) } {} има постојан знак.

Questions & Answers

what is the anterior
Tito Reply
Means front part of the body
Ibrahim
what is anatomy
Ruth Reply
To better understand how the different part of the body works. To understand the physiology of the various structures in the body. To differentiate the systems of the human body .
Roseann Reply
what is hypogelersomia
aliyu Reply
what are the parts of the female reproductive system?
Orji Reply
what is anatomy
Divinefavour Reply
what are the six types of synovial joints and their ligaments
Darlington Reply
draw the six types of synovial joint and their ligaments
Darlington
System of human beings
Katumi Reply
System in humans body
Katumi
Diagram of animals and plants cell
Favour Reply
at what age does development of bone end
Alal Reply
how many bones are in the human upper layers
Daniel Reply
how many bones do we have
Nbeke
bones that form the wrist
Priscilla Reply
yes because it is in the range of neutrophil count
Alexander Reply
because their basic work is to fight against harmful external bodies and they are always present when chematoxin are released in an area in body
Alexander
What is pathology
Samuel Reply
what is pathology
Nbeke
what's pathology
Nbeke
what is anatomy
ESTHER Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Математика 1. OpenStax CNX. Nov 17, 2014 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11377/1.12
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 1' conversation and receive update notifications?

Ask