1. Home
  2. Математика 2
  3. Векторска алгебра
  4. Скаларен производ на два вектора

1.2 Скаларен производ на два вектора

<< Chapter < Page
  Математика 2   Page 1 / 1
Chapter >> Page >
Се дефинира скаларан производ на два вектора и неговите својства. Definition of a scalar product and properties

Скаларен производ на два вектора

Најпрво ќе се дефинира поимот за агол меѓу два вектора:

Дефиниција. Под агол φ = ∠ ( a → , b → ) size 12{∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} меѓу ненултите вектори a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се подразбира аголот 0 ≤ ϕ ≤ π size 12{0<= ϕ<= π} {} кој меѓусебно го зафаќаат векторите доведени до заеднички почеток.

Сега следи дефиниција за скаларен производ:

Дефиниција. Скаларен производ на два вектора a → ≠ 0 → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } }<>{0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → ≠ 0 → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } }<>{0} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скаларната величина дефинирана со

a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ cos ∠ ( a → , b → ) size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline "cos"∠ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} .

Очигледно е дека ако еден од множителите во скаларниот производ е нула вектор, тогаш и скаларниот производ е 0.

Својства на скаларниот производ

Од самата дефиниција за скаларен производ следуваат следните негови својства:

1. a → ⋅ b → = b → ⋅ a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (комутативен закон);

2. a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} (дистрибутивен закон);

3. λ ( a → ⋅ b → ) = ( λ a → ) ⋅ b → = a → ⋅ ( λ b → ) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} (множење со скалар λ);

4. Ако векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се паралелни, тогаш

a → ∣ ∣ b → ⇔ size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow } {} a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = ± ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ size 12{ +- \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline cdot \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } {} ;

5. a → ⋅ a → = ( a → ) 2 = ∣ a → ∣ 2 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) rSup { size 8{2} } = \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline rSup { size 8{2} } } {} , односно ∣ a → ∣ = a → ⋅ a → size 12{ \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline = sqrt { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } } {} ;

6. Ако двата ненулти вектори во скаларниот производ се взаемно нормални, тогаш

a → ⊥ b → ⇔ a → ⋅ b → = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } dlrarrow {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =0} {} ;

7. Скаларниот производ меѓу единичните вектори е:

i → ⋅ j → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, i → ⋅ k → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0, j → ⋅ k → size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0,

i → ⋅ i → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, j → ⋅ j → size 12{ {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1, k → ⋅ k → size 12{ {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 1.

Aко векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се зададени со своите координати

a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 1 , y 1 , z 1 } и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 2 , y 2 , z 2 },

нивниот скаларен производ изразен преку координатите на векторите е:

a → ⋅ b → = ( x 1 i → + y 1 j → + z 1 k → ) ⋅ ( x 2 i → + y 2 j → + z 2 k → ) = size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = \( x rSub { size 8{1} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{1} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{1} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot \( x rSub { size 8{2} } {i} cSup { size 8{ rightarrow } } +y rSub { size 8{2} } {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +z rSub { size 8{2} } {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

= x 1 x 2 ( i → ⋅ i → ) + x 1 y 2 ( i → ⋅ j → ) + x 1 z 2 ( i → ⋅ k ) + + y 1 x 2 ( j → ⋅ i → ) + y 1 y 2 ( j → ⋅ j → ) + y 1 z 2 ( j → ⋅ k ) + + z 1 x 2 ( k → ⋅ i → ) + z 1 y 2 ( k → ⋅ j → ) + z 1 z 2 ( k → ⋅ k → ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , alignl { stack { size 12{ {}=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +x rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {i} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{}} {} #+y rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +y rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {j} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot k \) +{} {} # +z rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {i} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {j} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } \( {k} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {k} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} #=x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } , {} } } {}

односно a → ⋅ b → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 . size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } =x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } "." } {}

8. Аголот меѓу векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

cos ∠ size 12{"cos"∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ size 12{ { { {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} ,

или изразен преку координатите на векторите

cos ∠ size 12{"cos"∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 size 12{ { {x rSub { size 8{1} } x rSub { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } y rSub { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } z rSub { size 8{2} } } over { sqrt {x rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } } sqrt {x rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +y rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } +z rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } } } } } {} .

Од дефиницијата за скаларен производ на два вектора следува дека знакот на скаларниот производ е определен од аголот што го зафакаат двата вектора и тоа:

∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) е остар агол ⇔ a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} >0;

∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) е тап агол ⇔ a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} <0;

∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = π / 2 size 12{π/2} {} ⇔ a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 0.

9. ( Ортогонална проекција на вектор ) Ако векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се доведат до заеднички почеток, секој од нив може ортогонално (нормално) да се проектира на другиот вектор со спуштање на нормала од крајот на едниот вектор кон правецот да другиот. Ортогоналната проекција на векторот a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор кој е во правец на векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и се означува со pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} . Преку тригонометриски релации (Сл. 1.7.) од скаларните вредности се добива

∣ pr b → a → ∣ ∣ a → ∣ = cos ∠ ( a → , b → ) size 12{ { { lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } rline } over { size 12{ \lline {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline }} } } size 12{ {}="cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} ,

од каде

∣ pr b → a → ∣ = ∣ a → ∣ cos ∠ ( a → , b → ) . size 12{ \lline "pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } size 12{ \lline = \lline {a} cSup { rightarrow } } size 12{ \lline "cos"∠ \( {a} cSup { rightarrow } } size 12{, {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) "." }} {}

Слика 1.7. Ортогонална проекција на вектор

Бидејќи a → ⋅ b → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = | a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} || b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | cos ∠ size 12{∠} {} ( a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ) = | b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | | pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} |,

проекцијата на векторот a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} врз векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е вектор во правец на b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и изразен како вектор е

{} pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a → ⋅ b → ∣ b → ∣ b 0 → size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline } } {b rSub { size 9{0}} } cSup { rightarrow } } {} ,

кеде b 0 → size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е единечниот вектор на b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , или од b 0 → = b → ∣ b → ∣ size 12{ {b rSub { size 8{0} } } cSup { size 8{ rightarrow } } = { { {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } over { \lline {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline } } } {} следува

{} pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} = a → ⋅ b → ∣ b → ∣ 2 b → size 12{ { { {a} cSup { rightarrow } cdot {b} cSup { rightarrow } } over {` \lline {b} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {b} cSup { rightarrow } } {} .

Ортогоналната проекција на вектор врз вектор има примена во задачи во кои се бара даден вектор да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е со зададен правец. Така на пример, векторот a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} може да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е во правец на векторот b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , тоа е векторот pr b → a → size 12{"pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} , а вториот е неговиот нормален вектор a → -pr b → a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } "-pr" rSub { size 8{ {b} cSup { size 6{ rightarrow } } } } {a} cSup { rightarrow } } {} .

Пример 1.

Да се пресмета pr c → ( 3 a → − 2 b → ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} , ако a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {－2, 1, 1}, b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 5, 0} и

c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {4, 4, －2}.

Решение.

Векторот 3 a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} － 2 b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = 3{－2, 1, 1} － 2{1, 5, 0} = {－8, －7, 3}.

Проекцијата pr c → ( 3 a → − 2 b → ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} се пресметува со

pr c → ( 3 a → − 2 b → ) size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) }} {} = 3 a → − 2 b → ⋅ c → ∣ c → ∣ 2 c → size 12{ { { left (3 {a} cSup { rightarrow } - 2 {b} cSup { rightarrow } right ) cdot {c} cSup { rightarrow } } over { \lline {c} cSup { rightarrow } \lline rSup { size 9{2}} } } {c} cSup { rightarrow } } {} .

Бидејќи (3 a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} － 2 b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} )∙ c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {－8, －7, 3}∙{4, 4, －2} = (－8)4 + (－7)4 + 3(－2) = －66 ,

∣ c → ∣ = 4 2 + 4 2 + ( − 2 ) 2 = 6 size 12{ \lline {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \lline `= sqrt {4 rSup { size 8{2} } +4 rSup { size 8{2} } + \( - 2 \) rSup { size 8{2} } } =6} {} ,

pr c → ( 3 a → − 2 b → ) = − 66 6 2 c → = − 11 6 size 12{"pr" rSub { size 8{ {c} cSup { size 6{ rightarrow } } } } \( 3 {a} cSup { rightarrow } size 12{ - 2 {b} cSup { rightarrow } } size 12{ \) = { { - "66"} over {6 rSup {2} } } { size 12{c} } cSup { rightarrow } } size 12{ {}= { { - "11"} over {6} } }} {} {4, 4, －2} = { − 22 3 , − 22 3 , − 11 3 size 12{ { { - "22"} over {3} } ,` { { - "22"} over {3} } ,` { { - "11"} over {3} } } {} }. ◄

Пример 2.

Покажи дека трите вектори a → = 3 i → − j → + 2 k → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → = i → + j → − k → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → = i → − 5 j → − 4 k → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални вектори. Најди три скалари α size 12{α} {} , β size 12{β} {} и γ size 12{γ} {} такви што α a → + β b → + γ c → = i → − j → + k → size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Решение.

Согласно својството 6, ако скаларниот производ на два ненулти вектори е нула, тогаш векторите се взаемно нормални. Трите зададени вектори се:

a → = 3 i → − j → + 2 k → = { 3, − 1,2 } size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } =3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace } {} ,

b → = i → + j → − k → = { 1,1, − 1 } size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace } {} ,

c → = i → − 5 j → − 4 k → = { 1, − 5, − 4 } size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 5 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } - 4 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1, - 5, - 4 rbrace } {} .

Се пресметуваат нивните меѓусебни скаларни производи:

a → ⋅ b → = { 3, − 1,2 } ⋅ { 1,1, − 1 } = 3 − 1 − 2 = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {b} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1,1, - 1 rbrace =3 - 1 - 2=0} {} ,

a → ⋅ c → = { 3, − 1,2 } ⋅ { 1, − 5, − 4 } = 3 + 5 − 8 = 0 size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 3, - 1,2 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =3+5 - 8=0} {} ,

b → ⋅ c → = { 1,1, − 1 } ⋅ { 1, − 5, − 4 } = 1 − 5 + 4 = 0 size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = lbrace 1,1, - 1 rbrace cdot lbrace 1, - 5, - 4 rbrace =1 - 5+4=0} {} .

Видејќи сите меѓусебни скаларни производи се нула, следува дек тие се взаемно нормални вектори, т.е. a → ⊥ b → ⊥ c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ortho {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} . Штом векторите a → , b → , c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се взаемно нормални, тие се линеарно независни (ниту еден од овие три вектори не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора) и секој вектор од просторот може да се претстави како линерна комбинација од овие три вектори. Во условот на овој пример се бара векторот i → − j → + k → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} да се претстави како линерна комбинација од векторите a → , b → , c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , односно се бара да се најдат скалрите α size 12{α} {} , β size 12{β} {} и γ size 12{γ} {} така што

α a → + β b → + γ c → = i → − j → + k → size 12{α {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +β {b} cSup { size 8{ rightarrow } } +γ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Ова векторска равенка се запишува преку координатите на векторите

α { 3, − 1,2 } + β { 1,1, − 1 } + γ { 1, − 5, − 4 } = { 1, − 1,1 } size 12{α lbrace 3, - 1,2 rbrace +β lbrace 1,1, - 1 rbrace +γ lbrace 1, - 5, - 4 rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {} ,

односно

{ 3α + β + γ , − α + β − 5γ , 2α − β − 4γ } = { 1, − 1,1 } size 12{ lbrace 3α+β+γ, - α+β - 5γ,2α - β - 4γ rbrace = lbrace 1, - 1,1 rbrace } {}

и не доведува до следниот систем равенки

3α + β + γ = 1 − α + β − 5γ = − 1 2α − β − 4γ = 1 . alignl { stack { size 12{3α+β+γ=1} {} #size 12{ - α+β - 5γ= - 1} {} # size 12{2α - β - 4γ=1 "." } {}} } {}

За решавање на овој линеарен ситем од 3 равенки со 3 непознати најпрво ги наоѓаме неговите 4 детерминанти:

D = ∣ 3 1 1 − 1 1 − 5 2 − 1 − 4 ∣ = − 42 ≠ 0 size 12{D= lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # - 1 {} # - 4{}} rline = - "42"<>0} {} ,

D α = ∣ 1 1 1 − 1 1 − 5 1 − 1 − 4 ∣ = − 18 size 12{D rSub { size 8{α} } = lline matrix { 1 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 5 {} ## 1 {} # - 1 {} # - 4{}} rline = - "18"} {} ,

D β = ∣ 3 1 1 − 1 − 1 − 5 2 1 − 4 ∣ = 14 size 12{D rSub { size 8{β} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # - 1 {} # - 5 {} ## 2 {} # 1 {} # - 4{}} rline ="14"} {} ,

D γ = ∣ 3 1 1 − 1 1 − 1 2 − 1 1 ∣ = − 2 size 12{D rSub { size 8{γ} } = lline matrix { 3 {} # 1 {} # 1 {} ##- 1 {} # 1 {} # - 1 {} ## 2 {} # - 1 {} # 1{}} rline = - 2} {} .

Ги определуваме непознатите скалари преку:

α = D α D = − 18 − 42 = 3 7 , β = D β D = 14 − 42 = − 1 3 , γ = D γ D = − 2 − 42 = 1 21 . alignl { stack { size 12{α= { {D rSub { size 8{α} } } over {D} } = { { - "18"} over { - "42"} } = { {3} over {7} } ,} {} #β= { {D rSub { size 8{β} } } over {D} } = { {"14"} over { - "42"} } = - { {1} over {3} } , {} # γ= { {D rSub { size 8{γ} } } over {D} } = { { - 2} over { - "42"} } = { {1} over {"21"} } "." {}} } {}

Тоа значи дека векторот i → − j → + k → size 12{ {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се претставува како линерна комбинација од векторите a → , b → , c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} со равенката

3 7 a → − 1 3 b → + 1 21 c → = i → − j → + k → . size 12{ { {3} over {7} } {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - { {1} over {3} } {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + { {1} over {"21"} } {c} cSup { size 8{ rightarrow } } = {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - {j} cSup { size 8{ rightarrow } } + {k} cSup { size 8{ rightarrow } } "." } {}

Questions & Answers

what is defense mechanism
Chinaza Reply
what is defense mechanisms
Chinaza
I'm interested in biological psychology and cognitive psychology
Tanya Reply
what does preconceived mean
sammie Reply
physiological Psychology
Nwosu Reply
How can I develope my cognitive domain
Amanyire Reply
why is communication effective
Dakolo Reply
Communication is effective because it allows individuals to share ideas, thoughts, and information with others.
effective communication can lead to improved outcomes in various settings, including personal relationships, business environments, and educational settings. By communicating effectively, individuals can negotiate effectively, solve problems collaboratively, and work towards common goals.
it starts up serve and return practice/assessments.it helps find voice talking therapy also assessments through relaxed conversation.
miss
Every time someone flushes a toilet in the apartment building, the person begins to jumb back automatically after hearing the flush, before the water temperature changes. Identify the types of learning, if it is classical conditioning identify the NS, UCS, CS and CR. If it is operant conditioning, identify the type of consequence positive reinforcement, negative reinforcement or punishment
Wekolamo Reply
please i need answer
Wekolamo
because it helps many people around the world to understand how to interact with other people and understand them well, for example at work (job).
Manix Reply
Agreed 👍 There are many parts of our brains and behaviors, we really need to get to know. Blessings for everyone and happy Sunday!
ARC
A child is a member of community not society elucidate ?
JESSY Reply
Isn't practices worldwide, be it psychology, be it science. isn't much just a false belief of control over something the mind cannot truly comprehend?
Simon Reply
compare and contrast skinner's perspective on personality development on freud
namakula Reply
Skinner skipped the whole unconscious phenomenon and rather emphasized on classical conditioning
war
explain how nature and nurture affect the development and later the productivity of an individual.
Amesalu Reply
nature is an hereditary factor while nurture is an environmental factor which constitute an individual personality. so if an individual's parent has a deviant behavior and was also brought up in an deviant environment, observation of the behavior and the inborn trait we make the individual deviant.
Samuel
I am taking this course because I am hoping that I could somehow learn more about my chosen field of interest and due to the fact that being a PsyD really ignites my passion as an individual the more I hope to learn about developing and literally explore the complexity of my critical thinking skills
Zyryn Reply
good👍
Jonathan
and having a good philosophy of the world is like a sandwich and a peanut butter 👍
Jonathan
generally amnesi how long yrs memory loss
Kelu Reply
interpersonal relationships
Abdulfatai Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
Jobilize.com Reply
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Математика 2. OpenStax CNX. Feb 03, 2016 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11378/1.9
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 2' conversation and receive update notifications?

Ask