1.1 Правоаголни координати на вектор

Правоаголни координати на вектор

Векторот $\overrightarrow{a}$ во тродимензионален про­с­тор чиј почеток е во координатниот почеток О (0, 0, 0), а крајот во точката А ( x , y , z ), аналитички се означува со $\overrightarrow{a}$ = { x , y , z }.

Реалните броеви x , y и z се нарекуваат координа­ти на векторот $\overrightarrow{a}$ (Сл. 1.6.)

Нула векторот има координати $\overrightarrow{o}$ = {0, 0, 0}.

Слика 1.6. Вектор во простор

Понатаму следат операциите со векторите дефинирани аналитички, т.е. преку нивните координати.

Еднаквост на вектори

Векторите $\overrightarrow{a}$ = { x ₁ , y ₁ , z ₁ } и $\overrightarrow{b}$ = { x ₂ , y ₂ , z ₂ } се еднакви ако им се еднакви соодветните координати, т.е.

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ $\iff$ x ₁ = x ₂ , y ₁ = y ₂ , z ₁ = z ₂ .

Сума, разлика и множење на вектор со скалар

За векторите $\overrightarrow{a}$ = { x ₁ , y ₁ , z ₁ } и $\overrightarrow{b}$ = { x ₂ , y ₂ , z ₂ } се дефинираат претходно воведените основни операции со вектори, но сега преку нивните координати:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = { x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂ , z ₁ + z ₂ }

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = { x ₁ － x ₂ , y ₁ － y ₂ , z ₁ － z ₂ }

λ $\overrightarrow{a}$ = λ{ x ₁ , y ₁ , z ₁ } = {λ x ₁ , λ y ₁ , λ z ₁ }.

Пример 1. Ако $\overrightarrow{a}$ = {5, －2, 7} и $\overrightarrow{b}$ = {0, 3, －1}, тогаш

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = {5+0, －2 +3, 7－1} = {5, 1, 6}

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = {5－0, －2 －3, 7－ (－1)} = {5, －5, 8}

－ 3 $\overrightarrow{b}$ = －3{0, 3, －1} = {0, －9, 3}

$2\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$ = 2{5, －2, 7} + 4{0, 3, －1} =

= {10, －4, 14} + {0, 12, －4} = {10, 8, 10}. ◄

Колинерни вектори

Векторите $\overrightarrow{a}$ = { x ₁ , y ₁ , z ₁ } и $\overrightarrow{b}$ = { x ₂ , y ₂ , z ₂ } се колинерни ако $$ $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$ , ( λ ≠ 0), односно ако важи

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=\lambda$ .

Пример 2. Векторите $\overrightarrow{a}$ = {2, 3, － 5} и $\overrightarrow{b}$ = {－ 6, － 9, 15} се колинерни бидејќи

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{-6}=\frac{3}{-9}=\frac{-5}{\text{15}}=-\frac{1}{3}$ . ◄

Закони на векторската алгебра

Нека $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ се вектори, а λ и μ скалари, тогаш важат следните закони:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (комутативен закон за собирање на вектори);

$\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$ (асоцијативен закон за собирање на вектори);

$\lambda (\mu \overrightarrow{a})=\text{λμ}\overrightarrow{a}=\mu (\lambda \overrightarrow{a})$ (асоцијативен закон за множење со скалар);

$(\lambda +\mu )\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{a}$ (дистрибутивен закон);

$\lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}$ (дистрибутивен закон).

Координати на вектор меѓу две точки

Векторот $\overrightarrow{a}$ за кој точката А ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) е почетна а B ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) крајна точка, е определен со следните координати

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\text{AB}}$ = { x ₂ － x ₁ , y ₂ － y ₁ , z ₂ － z ₁ }.

Пример 3. Да се определат координатите на векторот $\overrightarrow{a}$ за кој А (2, 4, －3) е почетна, а

B (0, －1, 12) крајна точка.

Решение. $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\text{AB}}$ = {0 － 2, －1 －4, 12 － (－3)} = {－2, －5, 15}. ◄

Пример 4. Да се определат координатите на крајната точка B на векторот

$\overrightarrow{a}$ = {2, 3, － 5}, ако А (1, 0, － 2) е почетна точка.

Решение. Векторот $\overrightarrow{a}$ со почеток во точката А (1, 0, － 2) и крај во B ( x , y , z ) ќе има координати

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\text{AB}}$ = { x － 1, y － 0, z － (－2)}.

Бидејќи координатите на векторот $\overrightarrow{a}$ се дадени, од условот за еднаквост на векторите ќе следи

{ x － 1, y － 0, z － (－2)} = {2, 3, － 5}

од каде

x － 1 = 2 $\Rightarrow$ x = 3,

y － 0 = 3 $\Rightarrow$ y = 3,

z + 2 = － 5 $\Rightarrow$ z = － 7.

Значи, бараната крајна точка на векторот е B (3, 3, － 7). ◄

Интензитет на вектор

Интензитетот на векторот $\overrightarrow{a}$ = { x , y , z } зададен преку неговите координати, се определува со $\mid \overrightarrow{a}\mid =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Пример 5. Да се определи итензитетот на векторот $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ ако $\overrightarrow{a}$ = {－2, 3, 2},

$\overrightarrow{b}$ = {5, 0, － 1}.

Решение. Векторот $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ е со координати

$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ = {－2, 3, 2} + 2{5, 0, － 1} = {­－2 + 10, 3 + 0, 2 －2} = {8, 3, 0}

и со интензитет

$\mid \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\mid =\sqrt{(8{)}^2+3^2+0^2}=\sqrt{\text{64}+9}=\sqrt{\text{73}}$ . ◄

Пример 6. Да се определи единичниот вектор $\overrightarrow{a_0}$ за векторот $\overrightarrow{a}$ = {－2, 3, 2}.

Решение. $\overrightarrow{a_0}=\frac{\overrightarrow{a}}{\mid \overrightarrow{a}\mid }$ = {－2, 3, 2}/ $\sqrt{\text{17}}$ = {－ 2/ $\sqrt{\text{17}}$ , 3/ $\sqrt{\text{17}}$ , 2/ $\sqrt{\text{17}}$ }. ◄

Единични вектори на кординатните оски

На координатните оски се определуваат единични вектори и тоа:

на x - оската единичен вектор $\overrightarrow{i}$ = {1, 0, 0},

на y - оската единичен вектор $\overrightarrow{j}$ = {0, 1, 0},

на z - оската единичен вектор $\overrightarrow{k}$ = {0, 0, 1}.

Овие три единични вектори се линерано независни, што значи дека ниту еден од нив не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора и затоа нивната линерна комбинација $\alpha$ $\overrightarrow{i}$ + $\beta$ $\overrightarrow{j}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{k}$ = $\overrightarrow{o}$ e можна само за $\alpha =\beta =\gamma =0$ .

Секој вектор $\overrightarrow{a}$ = { x , y , z } во простор може да се напише како линерна комбинација од единичните вектори

$\overrightarrow{a}$ = x $\overrightarrow{i}$ + y $\overrightarrow{j}$ + z $\overrightarrow{k}$ ,

бидејќи

$\overrightarrow{a}$ = { x , y , z } = { x , 0, 0} + {0, y , 0} + {0, 0, z } =

= x {1, 0, 0} + y {0, 1, 0} + z {0, 0, 1} = x $\overrightarrow{i}$ + y $\overrightarrow{j}$ + z $\overrightarrow{k}$ .

Затоа векторот $\overrightarrow{a}$ = {－2, 3, 2} разложен по единичните вектори од коорди­нат­ни­те оски е

$\overrightarrow{a}$ = {－2, 3, 2} = － 2 $\overrightarrow{i}$ + 3 $\overrightarrow{j}$ + 2 $\overrightarrow{k}$ .

Пример 7. Да се покаже дека векторите $\overrightarrow{a}$ = {1, －1, 2}, $\overrightarrow{b}$ = {1, 2, －1} и $\overrightarrow{c}$ = {3, 1, 1} се линерно независни.

Решение. Трите вектори $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ се линерано независни ако линеарната комбинација

$\alpha$ $\overrightarrow{a}$ + $\beta$ $\overrightarrow{b}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{o}$

е можна само за $\alpha =\beta =\gamma =0$ .

Поаѓајќи од равенството за линерна комбинација на векторите

$\alpha$ {1, －1, 2} + $\beta$ {1, 2, －1} + $\gamma$ {3, 1, 1} = $\overrightarrow{o}$

се добива

{ $\alpha$ + $\beta$ + 3 $\gamma$ , － $\alpha$ + 2 $\beta$ + $\gamma$ , 2 $\alpha$ － $\beta$ + $\gamma$ } = $\overrightarrow{o}$ ,

а ова векторско равенство се сведува на хомоген систем од три линеарни равенки со три непознати

$\alpha$ + $\beta$ + 3 $\gamma$ = 0

－ $\alpha$ + 2 $\beta$ + $\gamma$ = 0

2 $\alpha$ － $\beta$ + $\gamma$ = 0.

Детерминантата на системот D = 3 ≠ 0, од каде следува дека системот има едно единствено решение и тоа е тривијалното решение $\alpha =\beta =\gamma =0$ . Значи, трите вектори се линеарно независни. ◄

Пример 8. Да се претстави векторот $\overrightarrow{x}$ = {－1, 1, 5} како линеарна комбинација од векторите $\overrightarrow{a}$ = {1, 0, 1}, $\overrightarrow{b}$ = {3, 2, 0} и $\overrightarrow{c}$ = {0, 1, 1}.

Решение. За претставување (разложување) на векторот $\overrightarrow{x}$ преку векторите $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ се поаѓа од релацијата за линеарна комбинација

$\overrightarrow{x}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\gamma \overrightarrow{c}$

во која треба да се определат константите α , β и γ . Запишувајки ја горната релација со вектори преку нивните координати се добива

{－1, 1, 5} = α {1, 0, 1} + β {3, 2, 0} + γ {0, 1, 1}

односно

{－1, 1, 5} = { α + 3 β + 0 γ , 0 α + 2 β + γ , α + 0 β + γ },

и од еднаквоста на векторите се добива нехомогениот систем равенки

$\{\begin{array}{c}\alpha +\mathrm{3\beta }=-1\\ \mathrm{2\beta }+\gamma =1\\ \alpha +\gamma =5\end{array}$

чии решенија се α = 2, β = －1, γ = 3. Тоа значи дека векторот $\overrightarrow{x}$ може да се запише како линерна комбинација од векторите $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ со изразот

$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$ . ◄