0.8 Гранична вредност на функција

Гранична вредност на функција

Нека функцијата $y=f(x)$ е дефинирана во околина на точката $x=a$ , без да се бара функцијата $f(x)$ да е дефинирана во точката $a$ .

Дефиниција.

Бројот $A$ се нарекува гранична вредност на функцијата $f(x)$ кога $x$ тежи кон бројот $a$ ако на секој број $\epsilon >0$ му одговара број $\delta >0$ таков што кога и се пишува $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=A$ .

Постоењето на граничната вредност $A$ не означува дека вредноста на функцијата во точката $a$ мора да е еднаква на бројот $A$ , бидејќи функцијата не мора да е да е дефинирана во таа точка.

Од дефиницијата за гранична вредност следува дека за секоја $\epsilon$ -околина на точката $A$ ќе постои $\delta$ -околина на точката $a$ таква што со функцијата $f$ целата $\delta$ -околина на точката $a$ се пресликува во $\epsilon$ -околина на точката $A$ .

Граничната вредност накратко се нарекува граница на функцијата.

За функција се дефинираат еднострани граници преку лева и десна граница.

Дефиниција.

Граничната вредност

$\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f(x)=A_1$

се нарекува лева граница на функција $f(x)$ , а

$\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f(x)=A_2$

е десна граница .

Десната граница на функцијата е вредноста која се добива кога $x$ тежи кон $a$ од десно (преку поголемите вредности од $a$ ), а левата граница се добива кога $x$ тежи кон $a$ од лево (преку помалите од $a$ ).

Ако левата и десната граница во една точка се различни, функцијата нема граница во таа точка, а ако пак тие се еднакви, т. е. $A=A_1=A_2,$ тогаш функцијата $f(x)$ има граница и

$A=\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=$ $\underset{x\to a^{-}}{\text{lim}}f(x)=$ $\underset{x\to a^{+}}{\text{lim}}f(x)$ .

Често пати, постоењето на едната од едностраните граници не мора да значи дека ќе постои и другата еднострана граница.

Границата на функцијата не мора да биде конечен број.

Дефиниција.

Граничната вредност е бесконечна и се пишува

$\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\text{=+}\infty$

ако за секој позитивен број M (доволно голем) постои позитивен број $\delta$ така што

$\mid f(x)\mid >M$ кога .

При тоа, кога $f(x)>M$ важи $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)\text{=+}\infty$ , додека за важи $\underset{x\to a}{\text{lim}}f(x)=-\infty$ .

Симболите за бесконечност $+\infty ,-\infty$ не се реални вредности и тие само означуваат одредено поведение на функцијта. Кога вредностите на функцијата постојано растат, но не надминуваат некој конечен број $M$ , тогаш функцијата за граница го има бројот $M$ или некој помал број. Ако таков конечен број $M$ не постои, се вели дека функцијата постанува бесконечна и во тој случај границата не постои.

Можни се повеќе случаи на кога функцијата нема граница:

Случај 1: Функција со различни конечни граници

Ако левата и десната граница на функцијата во точката $a$ се конечни и различни (Сл. 1), функцијата нема граница во точката $a$ .