3.6 Равенки на тангента и нормала на крива

Ако функцијата $f(x)$ има конечен извод $f^{\text{'}}(x_0)$ во точката $x=x_0$ , тогаш тангентата на кривата $y=f(x)$ во таа точка ќе има коефициент на правец (нагиб)

$k=\text{tg}(\alpha )=f^{\text{'}}(x_0)$ .

Ова следувa од геометриската интерпретација на првиот извод.

Затоа

• тангента на крива во точка $M(x_0,y_0)$ која лежи на кривата ќе има равенка

$y-y_0=k(x-x_0)$ ,

• нормала (права нормална на тангентата) на крива во точка $M(x_0,y_0)$ ќе има равенка

$y-y_0=-\frac{1}{k}(x-x_0)$ .

Ако пак функцијата $f(x)$ во точката $x=x_0$ има бесконечен извод, т.е. $f^{\text{'}}(x_0)=\infty$ , тогаш тангентата на кривата $y=f(x)$ во точката $M(x_0,y_0)$ ќе биде верткалната права $x=x_0$ .

Пример 1.

Во пресечните точки на правата $x-y+1=0$ со параболата $y=x^2-\mathrm{4x}+5$ , да се напишат равенките на тангентата и нормалата на параболата.

РЕШЕНИЕ:

Најпрво се определуваат пресечните точки на правата и параболата:

$x+1=x^2-\mathrm{4x}+5\Rightarrow x^2-\mathrm{5x}+4=0\Rightarrow x_1=\mathrm{4,}{x}_2=1$ .

За $x_1=4\Rightarrow y_1=5$ , додека за $x_2=1\Rightarrow y_2=2$ .

Коефициентот на правецот на тангентата на параболата е

$y^{\text{'}}=\mathrm{2x}-4$ .

Затоа равенките на нормалата на параболата се:

• во точката (4,5) коефициентот на правецот е $y^{\text{'}}(4)=2\cdot 4-4=4$ и равенката на тангентата е

$y-5=4(x-4)$ или по средување $y=\mathrm{4x}-\text{11}$ ,

додека равенката на нормалата е

$y-5=-\frac{1}{4}(x-4)$ односно $\mathrm{4y}+x-\text{24}=0$ ;

• во точката (1,2) коефициентот на правецот е $y^{\text{'}}(1)=2\cdot 1-4=-2$ и равенката на тангентата е

$y-2=-2(x-1)$ или $y=-\mathrm{2x}+4$ ,

а равенката на нормалата е

$y-2=\frac{1}{2}(x-1)$ односно $\mathrm{2y}-x-3=0$ .

Пример 2.

Да се покаже дека тангентите на кривата $y=\frac{x-4}{x-2}$ повлечени во точките на пресек со координатните оски се меѓусебно паралелни.

РЕШЕНИЕ:

Најпрво да ги најдеме точките на пресек со координатните оски.

За точките на пресек со $x-$ оската важи $y=0$ , па затоа $\frac{x-4}{x-2}=0\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4\text{.}$ Се доби дека пресечната точка со $x-$ оската е $A(\mathrm{4,0})$ .

За точките на пресек со $y-$ оската важи $x=0$ , па затоа $\frac{0-4}{0-2}=y\Rightarrow y=2$ и пресечната точка со $y-$ оската е $B(\mathrm{0,2})$ .

Изводот на кривата е $y^{\text{'}}=\frac{2}{(x-2{)}^2}$ .

Коефициентаот на правецот на тангентата во точката $A$ е

$y^{\text{'}}{\mid }_{x=4}=\frac{2}{(4-2{)}^2}=\frac{1}{2}$ ,

додека во точката $B$ е

$y^{\text{'}}{\mid }_{x=0}=\frac{2}{(0-2{)}^2}=\frac{1}{2}$ .

Овие два коефициенти на правци се еднакви што значи дека и тангентите во овие точки ќе бидат паралелни.

Пример 3.

Да се определат координатите на точките од кривата $y={\mathrm{2x}}^3+\text{13}{x}^2+\mathrm{5x}+9$ во кои тангентата ќе поминува низ координатниот почеток.

РЕШЕНИЕ:

Координатите на точка која лежи на кривата се $(x_0,{\mathrm{2x}}_0^3+\text{13}{x}_0^2+{\mathrm{5x}}_0+9)$ . Равенката на тангентата низ оваа точка е

$y-({\mathrm{2x}}_0^3+\text{13}{x}_0^2+{\mathrm{5x}}_0+9)=k(x-x_0)$ ,

каде што

$\begin{array}{}k=({\mathrm{2x}}^3+\text{13}{x}^2+\mathrm{5x}+9{)}^{\text{'}}{/}_{x=x_0}\\ \end{array}$ ,

односно

$k={\mathrm{6x}}_0^2+\text{26}{x}_0+5$ .

Затоа равенката на тангентата ќе биде

$y-({\mathrm{2x}}_0^3+\text{13}{x}_0^2+{\mathrm{5x}}_0+9)=({\mathrm{6x}}_0^2+\text{26}{x}_0+5)(x-x_0)$ ,

која после средување има облик

$y=({\mathrm{6x}}_0^2+\text{26}{x}_0+5)x-{\mathrm{4x}}_0^3-\text{13}{x}_0^2+9$ .

Треба да нагласиме дека координатниот почеток не лежи на кривата.

Услов права да поминува низ координатниот почеток е нејзиниот слободен член да е еднаков на нула. Затоа во равеката на тангентата слободниот член треба да е нула, а тоа е условот

$-{\mathrm{4x}}_0^3-\text{13}{x}_0^2+9=0$ ,

или

${\mathrm{4x}}_0^3+\text{13}{x}_0^2-9=0$ .

Оваа полином од третти ред за кој нема правило како се пресметуваат неговите нули. Но, ако полиномот има нула која е цел број, таа се содржи во слободниот член. Слободниот член е 9, а негови делители се броевите $\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{3,}\pm 9$ . Со проба испитуваме дали некој од овие шест боеви е решение на пономот од третти ред. За вредноста $x{}_0=-1$ добиваме дека е решение на полиномот бидејќи

$4(-1{)}^3+\text{13}(-1{)}^2-9=0$ .

Со определување на едната нула $x{}_0=-1$ на полиномот, полиномот го делиме со $(x{}_0+1)$ и добиваме

$({\mathrm{4x}}_0^3+\text{13}{x}_0^2-9):(x_0+1)=({\mathrm{4x}}_0^2+{\mathrm{9x}}_0-9)$ ,

и затоа

${\mathrm{4x}}_0^3+\text{13}{x}_0^2-9=(x_0+1)({\mathrm{4x}}_0^2+{\mathrm{9x}}_0-9)$ .

Нулите на полиномот

се:

$x{}_0=-1$ ,

$x{}_0=-3$ ,

$x{}_0=3/4$ ,

каде што последните две вредности се добиени со решавање на квадратната равенка ${\mathrm{4x}}_0^2+{\mathrm{9x}}_0-9=0$ .

Ги пресметуваме и ординатите во овие точки:

за $x{}_0=-1$ , $y_0=2(-1{)}^3+\text{13}(-1{)}^2+5(-1)+9=\text{15}$ ,

за $x{}_0=-3$ , $y_0=2(-3{)}^3+\text{13}(-3{)}^2+5(-3)+9=\text{57}$ ,

за $x{}_0=3/4$ , $y_0=2(3/4{)}^3+\text{13}(3/4{)}^2+5(3/4)+9=\text{669}/\text{32}$ .

Решението на задачата е дека во трите точки $A(-\mathrm{1,}\text{15})$ , $B(-\mathrm{3,}\text{57})$ , $C(3/\mathrm{4,}\text{669}/\text{32})$ кои лежат на кривата $y={\mathrm{2x}}^3+\text{13}{x}^2+\mathrm{5x}+9$ , тангентите поминуваат низ кординатниот почеток.