0.5 Диференцијал на функција

Пример 1.

За функцијата функцијата

$y=\frac{\text{sin}{x}^2}{\mathrm{3x}}$

изводот е

$y^{\text{'}}=\frac{\mathrm{3x}\text{sin}{x}^2\cdot (\mathrm{2x})-3\text{sin}{x}^2}{{\mathrm{9x}}^2}=\frac{{\mathrm{6x}}^2\text{sin}{x}^2-3\text{sin}{x}^2}{{\mathrm{9x}}^2}=\frac{({\mathrm{2x}}^2-1)\text{sin}{x}^2}{{\mathrm{3x}}^2}$ ,

а диференцијалот е

$\text{dy}=\frac{({\mathrm{2x}}^2-1)\text{sin}{x}^2}{{\mathrm{3x}}^2}\text{dx}\text{.}$

Пример 2.

За функцијата $y=x^2$ да се пресмета:

а ) нарaснувањето на функцијата во произволна точка;

б ) нараснувањето во точката $x=\mathrm{2,1}$ ;

в ) диференцијалот во произволна точка;

г ) диференцијалот во точката $x=\mathrm{2,1}$ .

Решение:

а ) Нараснувањето на функцијата е

$\mathrm{\Delta y}=(x+\mathrm{\Delta x}{)}^2-x^2=x^2+\mathrm{2x\Delta x}+{\mathrm{\Delta x}}^2-x^2=\mathrm{2x\Delta x}+{\mathrm{\Delta x}}^2$ ;

б ) Нараснувањето во точката $x=\mathrm{2,1}$ е

$\mathrm{\Delta y}=(\mathrm{2,1}{)}^2-2^2=\mathrm{4,}\text{41}-4=\mathrm{0,}\text{41}$ ;

в ) диференцијалот во произволна точка е

$\text{dy}=\mathrm{2x}\cdot \mathrm{\Delta x}$ ;

г ) Диференцијалот во точката $x=2\text{.}1$ е

$\text{dy}=2\cdot 2\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,4}$ .

Од примерот се гледа дека вредностите на $\mathrm{\Delta y}=\mathrm{0,}\text{41}$ и $\text{dy}=\mathrm{0,4}$ за мали промени на аргументот $\mathrm{\Delta x}=\mathrm{0,1}$ се приближно еднакви.

Пример 3.

Со помош на диференцијал приближно да се пресмета вредноста на функцијата $f(x)=e^{\mathrm{0,1}x(1-x)}$ $$ за $x=\mathrm{0,}\text{97}$ .

Решение:

Точката $x=\mathrm{0,}\text{97}$ е блиска до точката $x=1$ , бидејќи $\mathrm{0,}\text{97}=1-\mathrm{0,}\text{03}$ што значи дека нараснувањето е $\mathrm{\Delta x}=-\mathrm{0,}\text{03}\text{.}$ Негативниот знак на нараснување означува дека точката со нараснување $x+\mathrm{\Delta x}=1-\mathrm{0,}\text{03}=\mathrm{0,}\text{97}$ е лево од точката $x=1$ . Ова нараснување е многу мало $-\mathrm{0,}\text{03}\approx 0$ , затоа може да се примени изразот (1) за приближно пресметување со помош на диференцијал

$f(x+\mathrm{\Delta x})\approx f(x)+\text{df}(x)$ ,

и согласно на неа

$f(\mathrm{0,}\text{97})\approx f(1)+\text{df}(1)$ .

Ги пресметуваме вредностите на секој собирок од десната страна на ова приближно равенство. Првиот собирок е вредноста на функцијата во $x=1$ и тој е

$f(1)=e^{\mathrm{0,1}\cdot 1(1-1)}=e^0=1$ ,

додека вториот собирок е диференцијалот кој е

$\text{df}(1)=f^{\text{'}}(1)\text{dx}=f^{\text{'}}(1)\cdot (-\mathrm{0,}\text{03})$ .

Бидејќи функцијата $f(x)=e^{\mathrm{0,1}x(1-x)}$ има извод

$f^{\text{'}}(x)=e^{\mathrm{0,1}x(1-x)}[\mathrm{0,1}(1-x)-\mathrm{0,1}x]=(\mathrm{0,1}-\mathrm{0,2}x)e^{\mathrm{0,1}x(1-x)}$ ,

вредноста на изводот во $x=1$ е

$f^{\text{'}}(1)=(\mathrm{0,1}-\mathrm{0,2}x)e^{\mathrm{0,1}x(1-x)}{\mid }_{x=1}=-\mathrm{0,1}{e}^0=-\mathrm{0,1}$ .

Затоа диференцијалот ќе има вредност

$\text{df}(1)=f^{\text{'}}(1)\text{dx}=f^{\text{'}}(1)\cdot (-\mathrm{0,}\text{03})=-\mathrm{0,1}(-\mathrm{0,}\text{03})=\mathrm{0,}\text{003}$ ,

и оваа вредност проближно ја изразува промената на функцијата.

Точната вредност на функцијата во точката $x=\mathrm{0,}\text{97}$ е

$f(\mathrm{0,}\text{97})=e^{\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,}\text{97}(1-\mathrm{0,}\text{97})}=e^{\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,}\text{97}\cdot \mathrm{0,}\text{03}}=e^{\mathrm{0,}\text{00291}}$ ,

што не е баш лесно да се пресмета без некое помошно средство како на пример калкулатор, но затоа таа може приближно да се пресмета преку диференцијалот преку изразот за приближно пресметување

$e^{\mathrm{0,}\text{00291}}\approx f(1)+\text{df}(1)=1+\mathrm{0,}\text{003}=\mathrm{1,}\text{003}$ .

Пример 4.

Со помош на диференцијал приближно да се пресмета $\text{sin}{\text{31}}^0$ .

Решение:

За пресметување на $\text{sin}{\text{31}}^0$ , се зема функцијата $f(x)=\text{sin}x$ , каде $x={\text{30}}^0$ , а $\mathrm{\Delta x}=1^0$ , при што нараснувањето е многу мало. Секогаш кога се работи со тригонометриски функции, аглите се изразуваат во радијански мерки.

Затоа $x={\text{30}}^0=\frac{\pi }{6}$ , а $\mathrm{\Delta x}=1^0=\frac{1\cdot \pi }{\text{180}}=\frac{\mathrm{3,}\text{14}}{\text{180}}=\mathrm{0,}\text{017}$ .

Функцијата која треба приближно да се пресмета е

$\text{sin}{\text{31}}^0=\text{sin}(\frac{\pi }{6}+\mathrm{0,}\text{017})$ .

Се поаѓа од изразот за приближно пресметување со диференцијал

$f(x+\mathrm{\Delta x})\approx f(x)+\text{df}(x)$ ,

кој во овој пример е

$\text{sin}(\frac{\pi }{6}+\mathrm{0,}\text{017})\approx \text{sin}(\frac{\pi }{6})+\text{cos}(\frac{\pi }{6})\cdot \mathrm{0,}\text{017}$ ,

и $(\text{sin}x{)}^{\text{'}}=\text{cos}x\text{.}$ Пресметувајќи ги вредностите од десната страна на последното приближно равенство:

Бидејки $\text{sin}(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ и $\text{cos}(\frac{\pi }{6})\cdot \mathrm{0,}\text{017}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \mathrm{0,}\text{017}=\mathrm{0,}\text{0147}$ се добива дека

$\text{sin}{\text{31}}^0\approx \frac{1}{2}+\mathrm{0,}\text{0147}=\mathrm{0,}\text{5147}$ .