Algebra van die vier basiese operasies

5. $\frac{\mathrm{7x}}{3\text{xy}}÷\frac{\mathrm{3x}+6}{{\mathrm{5x}}^{2}y}÷\frac{\mathrm{5x}-\text{10}}{{\mathrm{3x}}^2-\text{12}}$

6. $\frac{\frac{{\mathrm{5x}}^2+\mathrm{5x}}{x^2-x}}{\frac{\mathrm{5x}+5}{x^2-1}}$ (Hier is ‘n breuk gedeel deur ‘n breuk – herskryf dit eers soos in 4)

C. Optelling van breuke

• Jy weet alreeds dat die optelling en aftrekking van breuke heelwat moeiliker is as vermenigvuldiging en deling. Dit is omdat ons slegs gelyksoortige breuke (met eenderse noemers) kan optel en aftrek. As die noemers verskil, moet jy die kleinste gemene veelvoud (KGV) van die noemers soek en dan elke breuk oor hierdie noemer skryf. Vereenvoudig dan die breuk. Vereenvoudig weer die antwoord so ver moontlik. Hier volg voorbeelde – al die stappe word getoon:

Vereenvoudig:

1. $\frac{5\text{abx}}{2\text{cx}}+\frac{4\text{ac}}{\mathrm{3x}}+\frac{\text{cx}}{\mathrm{2a}}$ (KGV = 6acx)

$\left(\frac{5\text{abx}}{2\text{cx}}\times \frac{\mathrm{3a}}{\mathrm{3a}}\right)+\left(\frac{4\text{ac}}{\mathrm{3x}}\times \frac{2\text{ac}}{2\text{ac}}\right)+\left(\frac{\text{cx}}{\mathrm{2a}}\times \frac{3\text{cx}}{3\text{cx}}\right)$ = $\frac{\text{15}{a}^2\text{bx}}{6\text{acx}}+\frac{{\mathrm{8a}}^2{c}^2}{6\text{acx}}+\frac{{\mathrm{3c}}^2{x}^2}{6\text{acx}}$ = $\frac{\text{15}{a}^2\text{bx}+{\mathrm{8a}}^2{c}^2+{\mathrm{3c}}^2{x}^2}{6\text{acx}}$

2. $\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{3}-\frac{a+c}{6}$ (LCD = 6) Let baie fyn op hoe die tekens hieronder hanteer word!

$\frac{3\left(a+b\right)}{6}+\frac{2\left(b+c\right)}{6}-\frac{a+c}{6}$ = $\frac{3\left(a+b\right)+2\left(b+c\right)-\left(a+c\right)}{6}$ = $\frac{\mathrm{3a}+\mathrm{3b}+\mathrm{2b}+\mathrm{2c}-a-c}{6}$ = $\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{5b}+c}{6}$

3. $\frac{a+3}{a^2-4}+\frac{1}{\mathrm{3a}+6}+\frac{2}{\mathrm{5a}-\text{10}}$

Om die Kleinste Gemene Noemer te vind, faktoriseer eers die noemers!

$\frac{a+3}{\left(a+2\right)\left(a-2\right)}+\frac{1}{3\left(a+2\right)}+\frac{2}{5\left(a-2\right)}$

Kan jy sien die KGV is 3×5×(a+2)(a–2)?

$\left(\frac{a+3}{\left(a+2\right)\left(a-2\right)}\times \frac{\text{15}}{\text{15}}\right)+\left(\frac{1}{3\left(a+2\right)}\times \frac{5\left(a-2\right)}{5\left(a-2\right)}\right)+\left(\frac{2}{5\left(a-2\right)}\times \frac{3\left(a+2\right)}{3\left(a+2\right)}\right)$

= $\frac{\text{15}\left(a+3\right)+5\left(a-2\right)+6\left(a+2\right)}{\text{15}\left(a+2\right)\left(a-2\right)}$ = $\frac{\text{15}a+\text{45}+\mathrm{5a}-\text{10}+\mathrm{6a}+\text{12}}{\text{15}\left(a+2\right)\left(a-2\right)}$ = $\frac{\text{26}a+\text{47}}{\text{15}\left(a+2\right)\left(a-2\right)}$

Oefening:

Vereenvoudig die volgende uitdrukkings deur van faktorisering gebruik te maak:

1. $\frac{a}{x^2}-\frac{a}{x}+\frac{\mathrm{5a}}{\mathrm{2x}}$

2. $\frac{1}{3}+\frac{\mathrm{2x}+1}{\mathrm{2x}}-\frac{x-1}{\mathrm{3x}}$

3. $\frac{\mathrm{4a}-\mathrm{4b}}{{\mathrm{2a}}^2-{\mathrm{2b}}^2}-\frac{3}{\mathrm{2a}-\mathrm{2b}}$

4. $\frac{1}{2}\left(a-2\right)+\frac{2}{3}\left(a+1\right)-\frac{3}{4}\left(a-3\right)$

• ‘n Laaste wenk. Ons sou $\frac{2\left(x-1\right)}{3\left(x+3\right)}\times \frac{9\left(x+3\right)}{\left(1-x\right)}$ beter kon vereenvoudig as (1–x) so gelyk het: (x–1).
• Ons kan hierdie verandering maak as ons die teken van die hele tweeterm ook verander: (1–x) = –(x–1) omdat –(x–1) = –x + 1, en dit is 1–x. Voltooi self die probleem.

Assessering

Memorandum

Bespreking

Terminologie

• Leerders gebruik dikwels metodes vir gebruik met uitdrukkings wanneer hulle met vergelykings werk (byvoorbeeld, hulle kan noemers in uitdrukkings weglaat), en andersom. Hou ‘n ogie hierop en leer hulle om die konteks te ondersoek voor hulle blindelings voortgaan.
• Vermenigvuldiging en faktorisering werk omgekeerd – die leerders moet hiervan bewus word. Dit maak in elk geval die werk makliker om te bemeester.
• As leerders nie terme en faktore kan onderskei nie, sal hulle nie uitdrukkings behoorlik kan manipuleer nie. As dit nodig blyk, kan hulle meer oefeninge gegee word.
• In die algemeen vind leerders breuke moeilik. Dit is dalk goed om in sulke gevalle met nie–algebraïse breuke te begin om die basis te vestig.

TOETS

1. Vereenvoudig die volgende uitdrukkings deur gelyksoortige terme bymekaar te maak.

1.1 3 a ² + 3 a ² – 6 a + 3 a – 4 + 1

1.2 2 y ² – 1 y + 2 y ² – 6 + 2 y – 9

1.3 8 x ² – (5 x + 12 x ² – 1) + x – 4

1.4 (3 a – a ² ) – [(2 a ² – 11) – (5 a – 3)]

2. Gee die antwoorde tot die volgende probleme in die eenvoudigste vorm:

2.1 Tel 3 x ² + 5 x – 1 by x ² – 3 x

2.2 Bereken die som van 2 a + 3 b – 5 en 3 + 2 b – 7 a

2.3 Trek 6 a + 7 af van 5 a ² + 2 a + 2

2.4 Hoeveel is 3 a – 8 b + 3 minder as a + b + 2?

3. Vereenvoudig deur vermenigvuldiging en laat antwoord in eenvoudigste vorm:

3.1 (3 x ² ) × (2 x ³ )

3.2 ( abc ) ( a ² c ) (2 b ² )

3.3 abc ( a ² c + 2 b ² )

3.4 –3 a (2 a ² – 5 a )

3.5 ( a – 2 b ) ( a + 2 b )

3.6 (3 – x ² ) (2 x ² + 5)

3.7 ( x – 5 y ) ²

3.8 (2 – b ) (3 a + c )

Memorandum

1.1 6 a ² – 3 a – 3

1.2 4 y ² + y – 15

1.3 – 4 x ² – 4 x – 3

1.4 – 3 a ² + 8 a + 8

2.1 4 x ² + 2 x – 1

2.2 – 5 a + 5 b – 2

2.3 5 a ² – 4 a – 5

2.4 – 2 a + 9 b – 1

3.1 6 x ⁵

3.2 2 a ³ b ³ c ²

3.3 a ³ bc ² + 2 ab ³ c

3.4 – 6 a ³ + 15 a ²

3.5 a ² – 4 b ²

3.6 –2 x ⁴ + x ² + 15

3.7 x ² – 10 xy + 25 y ²

3.8 6 a + 2 c – 3 ab – bc

TOETS

1. Bepaal die Grootste Gemene Faktor van hierdie drie uitdrukkings: 6 a ² c ² en 2 ac ² en 10 ab ² c ³ .

2. Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig deur gemene faktore te bepaal:

2.1 12 a ³ + 3 a ⁴

2.2 –5 xy – 15 x ² y ² – 20 y

2.3 6 a ² c ² – 2 ac ² + 10 ab ² c ³

3. Faktoriseer hierdie verskille van kwadrate volledig:

3.1 a ² – 4

3.2 $\frac{1}{9}{a}^2-{\mathrm{9b}}^2$

3.3 x ⁴ – 16 y ⁴

3.4 1 – a ⁴ b ⁴

4. Faktoriseer hierdie uitdrukkings so ver as moontlik:

4.1 3 x ² – 27

4.2 2 a – 8 ab ²

4.3 a ² – 5 a – 6

4.4 a ² + 7 a + 6

5. Vereenvoudig die volgende breuke deur van faktorisering gebruik te maak:

5.1 $\frac{{\mathrm{3a}}^2-3}{\mathrm{6a}+6}$

5.2 $\frac{{\mathrm{6x}}^{2}y-\mathrm{6y}}{\mathrm{2x}-2}$

5.3 $\frac{a^2-9}{2}\times \frac{1}{{\mathrm{4a}}^2-\text{12}a}$

5.4 $\frac{\mathrm{3x}+6}{5}÷\frac{x^2-4}{\text{15}}$

5.5 $\frac{\text{abx}}{2\text{cx}}+\frac{2\text{ac}}{\mathrm{3x}}+\frac{3\text{cx}}{\mathrm{2a}}$

5.6 $\frac{\mathrm{2a}}{x^2}-\frac{\mathrm{3a}}{x}+\frac{a}{\mathrm{2x}}$

5.7 $\frac{\mathrm{4a}-\mathrm{4b}}{{\mathrm{2a}}^2-{\mathrm{2b}}^2}-\frac{3}{\mathrm{2a}-\mathrm{2b}}$

5.8 $\frac{2}{3}\left(a+2\right)+\frac{1}{3}\left(a-1\right)-\frac{1}{4}\left(a-5\right)$

Memorandum

1. 2 ac ²

2.1 3 a ³ (4 + a ² )

2.2 –5 y ( x + 3 x ² y + 4)

2.3 2 ac ² (3 a – 1 + 5 b ² c )

3.1 ( a + 2) ( a – 2)

3.2 $\left(\frac{1}{3}a+\mathrm{3b}\right)\left(\frac{1}{3}a-\mathrm{3b}\right)$

3.3 ( x ² + 4 y ² ) ( x + 2 y ) ( x – 2 y )

3.4 (1 + a ² b ² ) (1 + ab ) (1 – ab )

4.1 3 ( x + 3) ( x – 3)

4.2 2 a (1 + 4 b ) (1 – 4 b )

4.3 ( a + 1) ( a – 6)

4.4 ( a + 1) ( a + 6)

5.1 $\frac{a-1}{2}$

5.2 3 y ( x + 1)

5.3 $\frac{a+3}{\mathrm{8a}}$

5.4 $\frac{9}{x-2}$

5.5 $\frac{{\mathrm{3a}}^2\text{bx}+{\mathrm{4a}}^2{c}^2+{\mathrm{9c}}^2{x}^2}{6\text{acx}}$

5.6 $\frac{\mathrm{4a}-5\text{ax}}{{\mathrm{2x}}^2}$

5.7 $\frac{a-\mathrm{7b}}{2\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$

5.8 $\frac{\mathrm{3a}+9}{4}$