Поим за реална функција од една независна променлива

Поим за реална функција од една независна променлива

Насекаде околу нас се случуваат разни промени и тие се сврзани со основниот поим величина.

Под поимот величина се подразбира секој објект кој може да се измери и изрази преку број.

При мерење на една иста величина во различно време и на различно место може да се добијат различни вредности. Може да се мери и уочи промената на температурата и притисокот на воздухот во зависност од времето, јачината на ветерот кој дува, брзината со која се движи некое возило или пешак и сл. Во математиката, на пример, се мери должината и радиусот на кружницата, плоштината на кружницата, должината на страната во квадратот и т.н. Постојат и величини кои стално имаат иста вредност како броевите $\pi ,e$ и други. Се забележува дека некои величини ја менуваат својата вредност и тие се нарекуваат променливи , додека оние кои секогаш имаат иста вредност се нарекуваат константи . Математичката анализа е област која ги изучува променливите величини. Постојат два вида променливи величини, едните се менуваат произволно, независно од други и се нарекуваат независни променливи , а вторите зависат од менувањето на некоја величина и се нарекуваат зависни променливи . На пример, плоштината на кружницата зависи од должината на радиусот, плоштината на квадратот зависи од должината на стрната на квадратот и т.н. Плоштината на квадратот се пресметува по формулата $P=a^2$ . За страната $a$ се вели дека е независна променлива додека плоштината $P$ е зависна променлива, односно $P$ е функција од $a$ и се запишува $P=f(a)$ или $P=P(a)$ . Следи дефиниција за функција:

Дефиниција .

Нека $D$ и $G$ се две непразни бројни множества $(\text{Δ,G}\subseteq R)$ . Ако на секој елемент $x\in D$ по некој закон или правило $f$ му одговара еден и само еден елемент $y\in G$ , се вели дека е зададена функција $f$ од множеството $D$ во множест­вото $G$ и се означува $y=f(x)$ или $f:D\to G\text{.}$

Функцијата $f$ се нарекува реалана функција од една реална променлива бидејки вредностите и на независната променлива и на функцијата се реални вредности.

Со функциите се поврзани следниве термини:

Дефинициона област или домен за функцијата $f$ е множеството $D$ ;

Множество од вредности или кодомен на функцијата е множеството $G$ ;

Функција е законот (правилото) $f$ со кој множеството $D$ се пресликува во множеството $G$ ;

Независна променлива или аргумент е променливата $x$ ;

Зависна променлива или вредност на функцијата е промeнливата $y$ .

Еднаквост на функции

За две функции $f(x)$ и $g(x)$ се вели дека се еднакви ако се исполнети следните три услови:

1) Имаат еднакви дефинициони области (домени), т. е. $D_f=D_g$ ;

2) Имаат еднакви вредности на функцијата (кодомени), т.е. $G_f=G_g$ ;

3) Имаат еднакви вредност за ист аргумент, т.е. $f(x)=g(x),\forall x\in D_f=D_g$ .

Ако не е исполенет било кој од наведените три услови за еднаквост, функциите не се еднакви.

Терминот “функција” за прв пат е воведен од Лајбниц (Leibnitz, 1640-1716), додека вообичаената ознака $f(x)$ е воведена подоцна од Ојлер (Euler, 1707-1783).

За означување на функциите вообичаено се користат ознаките

$y=f(x),y=F(x),y=\varphi (x),y=y(x),y_1=f_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n=f_n(x),$

кои накратко се запишуваат и како $f(x),F(x),\varphi (x),y(x),f_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},f_n(x)\text{.}$