Поим за диференцијална равенка

Поим за диференцијална равнка

Пред да се започне со проучување на диференцијалните равенки, најпрво ќе се дефинира терминологијата која ќе се користи.

Основни поими

Равенка во кои покрај функцијата и независно променливата величина се јавуваат и диференцијали или изводи, се нарекува диференцијална равенка . Ако функцијата е функција од една поменлива, тогаш диференцијалната равенка се нарекува обична диференцијална равенка . Ако пак таа е функција од повеќе променливи, равенката која содржи парцијални изводи или диференцијали се нарекува парцијална диференцијална равенка . Следните примери се обични диференцијални равенки:

$x{y}^{\text{'}}+y=y^2$

$(1-\text{xy}+x^2{y}^2)\text{dx}=x^2\text{dy}$

$y^{\text{'}}{y}^{\text{'}\text{'}\text{'}}=3(y^{\text{'}\text{'}}{)}^2$

$x^{2}y\frac{d^{2}y}{{\text{dx}}^2}-{\left(x\frac{\text{dy}}{\text{dx}}-y\right)}^2=0$

додека следните примери се парцијални диференцијални равенки:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\text{xy}$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$ .

Во оваа глава предмет на изучување ќе бидат обичните диференцијални равенки.

Диференцијалната равенка се дефинира со следната

Дефиниција 1 . Равенката

$f(x,y,y^{\text{'}},y^{\text{'}\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=0$ ,

во која се јавува независната променлива $x$ , функцијата $y$ и нејзините изводи до $n$ -ти ред, се нарекува обична диференцијална равенка од $n$ -ти ред или само диференцијална равенка $n$ -ти ред.

Со дефиницијата на диференцијална равенка се воведува и поимот за ред на равенката со следната

Дефиниција 2 . Ред на диференцијална равенка е редот на највисокиот извод кој се јавува во равенката.

Затоа, равенка во која се јавува само првиот извод или првиот диференцијал се нарекува диференцијална равенка од прв ред. Таквите равенки имплицитно може да се запишат со општата равенка

$f(x,y,y^{\text{'}})=0$ .

Ако равенката содржи втор извод или втор диференцијал, таа се нарекува диференцијална равенка од втор ред и е од облик

$f(x,y,y^{\text{'}},y^{\text{'}\text{'}})=0$

и т.н.

Друг основен поим за диференцијалните равенки е поимот за степен.

Дефиниција 3 . Степен на диференцијална равенка е алгебарскиот степен на нејзиниот највисок извод.

Дефиницијa 4 . Линерна диференцијална равенка е равенката

$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=f(x)$

во која функцијата $y$ и сите нејзини изводи се од прв ред.

Во оваа глава ќе се решаваат некои видови обични диференцијални равенки, односно ќе се бара нивното решение.

Дефиниција 5 . Решение на обична диференцијална равенка е функцијата $y=\varphi (x)$ или нејзин имплицитен облик $\Phi (x,y)=0$ која ја задоволува диференцијалната равенка.

Графикот на решението на диференцијалната равенка $y=\varphi (x)$ се нарекува интегрална крива , а постапката за барање решение се нарекува интегрирање на диференцијалната равенка.

Следуваат примери во кои се покажува кога една функција е решение на диференцијална равенка.

Можно е една диференцијална равенка да има повеќе од едно решение. Така, може да се покаже дека ако во решението се вклучи произволна константа $C\in R$ , тоа пак ќе биде решение на диференцијалната равенка. Во Примерот 1, решение ќе биде секоја функција од обликот $y=x^3+C$ .

Затоа се воведува поимот за партикуларно и општо решение на диференцијална равенка.

Дефиницијa 6. Партикуларно решение е секое решение кое ја задоволува диференцијалната равенка.

Дефиницијa 7 . Општо решение на диференцијална равенка од $n$ -ти ред равенка е решение кое содржи n произволни константи.

Во Пример 1, општото решение на равенката од втор ред ќе содржи две произволни константи и е од облик $y=x^3+C_{1}x+C_2\text{.}$

Најчесто, од општото решение се добива и партикуларното решение за определени вредности на произволните константи, но понекогаш постојат и партикуларни решенија кои не се добиваат од општото за ниедна вредност на произволните константи и таквото решение се нарекува сингуларно решение . Геометриски, општото решение на диференцијална равенка од $n$ -ти ред содржи $n$ -произволни константи и тоа е фамилија на криви со $n$ -параметри.

Иако основна задача во решавањето на диференцијални равенки е да се најде општото решение, обратната задача, формирањето на диференцијална равенка од познато (општо) решение е исто така интересен проблем. Постапката за формирање диференцијална равенка е диференцирање на нејзиното решение се’ додека не се елиминираат произволните константи.

Диференцијалните равенки, како еден од основните математички поими, се јавуваат при проучување на разни процеси и појави од физиката, биологијата, хемијата и други науки кои аналитички се опишуваат со некоја променлива и нејзините изводи.