Рамнина во простор  (Page 2/2)

$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}=0$ ;

• Ако некој од коефициентите пред променливите $x,y$ или $z$ е нула, тогаш рамнината е паралелна со соодветната оска (онаа координатна оска чија променлива не се јавува во равенката). На пр. ако $C=0$ , рамнината е паралелна со $z-$ оската и има равенка

$\text{Ax}+\text{By}+D=0$ ;

• Ако два коефициенти се нула од кои едниот е слободниот $D=0$ а вториот е еден од коефициентите $A,B$ или $C$ , на пр. нека $C=0$ , тогаш рамнината минува низ $z-$ оската и е со равенка

$\text{Ax}+\text{By}=0$ ;

• Ако два коефициенти (различни од слободниот) се нула, рамнината е паралелна со координатната рамнина определена со оските пред кои коефициентите се нула. На пр. ако $A=0$ и $C=0$ , тогаш рамнината е паралелна со $\text{xOz}$ координатната рамнина и има равенка

$\text{By}+D=0$ ;

• Ако три коефициенти се нула од кои едниот мора да е $D=0$ , се добиваат равенките на координатните рамнини:

$x=0$ е $\text{yOz}$ координатна рамнина;

$y=0$ е $\text{xOz}$ координатна рамнина;

$z=0$ е $\text{xOy}$ координатна рамнина.

Пример 3 . Да се напише равенка на рамнина која поминува низ $y-$ оската и низ точката $M(\mathrm{1,4,}-3)$ .

Решение . За бараната рамнина коефициентите $B=0$ и $D=0$ и равенката на рамнината ќе има облик $\text{Ax}+\text{Cz}=0$ . Точката $M(\mathrm{1,4,}-3)$ лежи на рамнината што значи дека ја задоволува нејзината равенка, односно $A-\mathrm{3C}=0$ или $A=\mathrm{3C}$ . Со замена на оваа вредност во равенката на рамнината се добива $3\text{Cx}+\text{Cz}=0$ и по кратење со $C$ се добива дека бараната рамнина има равенка

$\mathrm{3x}+z=0$ . ◄

Сегментен вид равенка на рамнина

Општиот вид равенка на рамнина (3) може да се подели со слободниот член ( ) и да се сведе на обликот

$\frac{x}{-\frac{D}{A}}+\frac{y}{-\frac{D}{B}}+\frac{z}{-\frac{D}{C}}=1$

или

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

кој се нарекува сегментен вид равенка на рамнина, а сегментите кои рамнината ги отсекува на координатните оски $x,y$ и $z$ се соодветно $a,b$ и $c$ .

Пример 4 . Да се напише равенка на рамнина која минува низ точката $M(\mathrm{2,1,}-1)$ и отсекува на $\text{Ox}$ и $\text{Oy}$ оските сегменти соодветно 2 и 1.

Решение . Бидејќи се зададени сементи кои правата ги отсекува на координатните оски, се бара равенка на рамнина во сегментен вид. Од условот на задачата познато е дека $a$ = 2 и $b$ = 1. Затоа равенката на рамнината ќе биде

$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{c}=1$ ,

во која треба да се определи сегментот $c$ . Познат е уште еден услов, а тоа е дека точката $M$ лежи во рамнината, што значи дека нејзините координати ја задоволуваат равенката на рамнината, т.е.

$\frac{2}{2}+\frac{1}{1}+\frac{-1}{c}=1$

од каде следува дека $c=1$ . Равенката на бараната рамнината е

$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$ ,

или по ослободување од именителот се добива општиот вид на равенка

$x+\mathrm{2y}+\mathrm{2z}=2\text{.}$ ◄

Равенка на рамнина низ три точки

Рамнина може еднозначно да се зададе и со три нејзини точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ , $M_2(x_2,y_2,z_2)$ и $M_3(x_3,y_3,z_3)$ . Со трите точки и произволна четврта точка $M(x,y,z)$ која лежи во рамнината се определуваат три вектори кои го исполнуваат условот за компланарност (мешаниот производ да е нула). Затоа равенката

$\mid \begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\mid =0$

претставува равенка на рамнина низ три точки .

Сноп рамнини

Две рамнини што се сечат образуваат сноп рамнини. Ако се рамнините се зададено со равнките $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$ , равенката на снопот рамнини е

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D)=\mathrm{0,}(\lambda \in R)\text{.}$

За секоја вредност на параметарот $\lambda$ се определува рамнина од снопот.

Пример 5 . Низ пресечната права на рамнините

$\mathrm{4x}-y+\mathrm{3z}-1=0$

и

$x+\mathrm{5y}-z+2=0$ ,

да се напише равенка на рамнина која е паралелна со $y-$ оската.

Решение . Од дадените рамнини се формира снопот рамнини

$\mathrm{4x}-y+\mathrm{3z}-1+\lambda (x+\mathrm{5y}-z+2)=0$

или

$(4+\lambda )x+(-1+\mathrm{5\lambda })y+(3-\lambda )z-1+\mathrm{2\lambda }=0$ .

Бидејќи рамнината треба да е паралелна со $y-$ оската, тоа значи дека

коефициентот пред променливата $y$ треба да е нула т.е.

$-1+\mathrm{5\lambda }=0$ ,

од каде $\lambda =\frac{1}{5}$ и заменувајќи ја оваа вредност во равенката на снопот се добива бараната равенка на рамнина

$\text{21}x+\text{14}z-3=0$ . ◄

Агол меѓу две рамнини

Аголот $\varphi$ меѓу двете рамнини

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$

се определува како агол меѓу нивните нормални вектори $\overrightarrow{n_1}=\{A_1,B_1,C_1\}$ и $\overrightarrow{n_2}=\{A_2,B_2,C_2\}$ и се пресметува со равенката

$\text{cos}\varphi =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_{1^2}+B_{1^2}+C_{1^2}}\sqrt{A_{2^2}+B_{2^2}+C_{2^2}}}$ .

Од формулата за агол меѓу две рамнини следува дека двете рамнини ќе бидат паралелни ако

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ ,

а ќе бидат нормални ако

$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$ .

Пример 6 . Да се пресмета аголот меѓу рамнините

$\mathrm{3x}-y+\mathrm{2z}+\text{15}=0$

и

$\mathrm{5x}+\mathrm{9y}-\mathrm{3z}+2=0$ .

Решение . Применувајќи ја формулата за агол меѓу две рамнини $\text{cos}\varphi =\frac{3\cdot 5+(-1)\cdot 9+2\cdot (-3)}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2+2^2}\sqrt{5^2+9^2+(-3{)}^2}}=0$ следува дека $\varphi =\frac{\pi }{2}$ . ◄

Пример 7 . Да се состави равенка на рамнина која минува низ точката $O(\mathrm{0,0,0})$ и е нормална на двете рамнини $\mathrm{2x}-y+\mathrm{2z}+3=0$ и $x+\mathrm{3y}-z-6=0$ .

Решение . Бидејки бараната рамнина минува низ координатниот почеток, нејзината равенка е

$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}=0$ .

Двете рамнини $\mathrm{2x}-y+\mathrm{2z}+3=0$ и $x+\mathrm{3y}-z-6=0$ имаат нормални вектори $\overrightarrow{n_1}=\{\mathrm{2,}-\mathrm{1,2}\}$ и $\overrightarrow{n_2}=\{\mathrm{1,3,}-1\}$ . Бараната рамнина за да е нормална на двете рамнини треба да има нормален вектор $\overrightarrow{n}$ кој ќе биде нормален на векторите $\overrightarrow{n_1}$ и $\overrightarrow{n_2}$ , односно $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$ . Пресметувајќи го векторот

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\mid \begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{j}\\ 2& -1& 2\\ 1& 3& -1\end{array}\mid =\{-\mathrm{5,4,7}\}$ ,

равенката на бараната рамнината е

$-\mathrm{5x}+\mathrm{4y}+\mathrm{7z}=0$ . ◄

Растојание од точка до рамнина

Под растојание од точката $M_0(x_0,y_0,z_0)$ до рамнина $\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}+D=0$ се подразбира најкраткото растојание (нормалното) од точката до тамнината. Растојанието се пресме­ту­ва преку релацијата

$d=\frac{\mid {\text{Ax}}_0+{\text{By}}_0+{\text{Cz}}_0+D\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

Пример 8 . Да се пресмета растојанието од точката $A(\mathrm{0,1,5})$ до рамнината

$\mathrm{3x}+\mathrm{6y}-\mathrm{2z}-5=0$ .

Решение . Со едноставно применување на формулатa за растојание од точка до рамнина се добива дека растојанието

$d=\frac{\mid 3\cdot 0+6\cdot 1-2\cdot 5-5\mid }{\sqrt{3^2+6^2+(-2{)}^2}}=\frac{\mid -9\mid }{7}=\frac{9}{7}\text{.}$ ◄

Пример 9 . Да се определи пресечната точка на рамнините

$x+y+z-6=\mathrm{0,}\mathrm{2x}-y+z-3=\mathrm{0,}x+\mathrm{2y}-z-2=0$ .

Решение . Пресечната точка $M$ на трите рамнини е нивната заедничка точка и нејзините координати ја задоволуваат равенката на секоја рамнина. Затоа се бара решението на системот равенки формиран од равенките на рамнините

$\begin{array}{}x+y+z=6\\ \mathrm{2x}-y+z=3\\ x+\mathrm{2y}-z=2\end{array}$

преку Крамеровите формули. Детерминантите на системот се

$D=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\mid =$ 7, $D_x=\mid \begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 3& -1& 1\\ 2& 2& -1\end{array}\mid =$ 7,

$D_y=\mid \begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\mid =\text{14},D_z=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\mid =\text{21}$

и бидејки системот има единствено решение $x=\frac{D_x}{D}=\mathrm{1,}y=\frac{D_y}{D}=\mathrm{2,}z=\frac{D_z}{D}=3$

и тоа се координатите на пресечната точка, односно $M(\mathrm{1,2,3})$ . ◄