Рамнина во простор

Точка во простор

Во правоаголен Декартов координатен систем произволна точка М се запишува со $M(x,y,z)$ , каде реалните броеви $x,y,z$ се нејзини координати.

Растојанието меѓу точките $M_1(x_1,y_1,z_1)$ и $M_2(x_2,y_2,z_2)$ се пресметува како интензитет на векторот кој минува низ двете точки

$\overline{M_1{M}_2}=d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$ .

Нека точката $M_0(x_0,y_0,z_0)$ се наоѓа на отсечката $\overline{M_1{M}_2}$ која е ограничена со точките $M_1(x_1,y_1,z_1)$ и $M_2(x_2,y_2,z_2)$ . Координатите на точката $M_0(x_0,y_0,z_0)$ која ја дели отсечката во однос $\overline{\frac{M_1{M}_0}{\overline{M_0{M}_2}}}=\lambda$ се определени со

$x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda },z_0=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda }$ .

Специјално, ако точката $M_0$ е средина на отсечката $\overline{M_1{M}_2}$ , нејзините координати се

$x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2},z_0=\frac{z_1+z_2}{2}$ .

Пример 1 . На апсцисната оска да се определи точка чие растојание до точката

$A(-\mathrm{3,4,8})$ е 12.

Решение. За точката $M(x_0,\mathrm{0,0})$ која е на апсцисната оска зададено е дека $\overline{\text{MA}}=\text{12}\text{.}$ Од формулата за растојание

$\overline{\text{MA}}=\sqrt{(x_0+3{)}^2+(-4{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{(x_0+3{)}^2+\text{80}}=\text{12}$ ,

се определува координатата $x_0$ од равенката

$(x_0+3{)}^2+\text{80}=\text{144}$

или

$(x_0+3{)}^2=\text{64}$ ,

која се сведува на равенка со апсолутна вредност

$\mid x_0+3\mid =8$ .

Од дефиницијата за апсолутната вредност

равенката со апсолутна вредност не доведува до следните две равенки со решенија:

за $x_0\ge -3\Rightarrow x_0+3=8\Rightarrow x_0=5$ _,

и

за .

Се заклучува дека постојат две точки на апсцисната оска чие растојание до точката А е 12, а тоа се точките

$M_1(\mathrm{5,0,0})$ и $M_2(-\text{11},\mathrm{0,0})$ . ◄

Рамнина во простор

Рамнина во простор може да се определи на повеќе начини и да се претстави со неколку видови равенки кои подолу ќе се прикажат.

Рамнина зададена со точка и нормален вектор

Еден од начините на определување рамнина во простор е со задавање точка која лежи на рамнината и вектор нормален на рамнината. Нека $M_0(x_0,y_0,z_0)$ е точката која лежи на рамнината, а векторот нормален на рамнината е $\overrightarrow{n}$ = { A , B , C }. За да се добие равенката на рамнината, се поаѓа од фактот дека векторот $\overrightarrow{M_{0}M}=\{x-x_0,y-y_0,z-z_0\}$ меѓу произволна точка $M(x,y,z)$ од бараната рамнина и дадената точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ исто така лежи во рамни­ната, а со тоа е нормален на векторот $\overrightarrow{n}$ . Користејќи го условот скаларниот производ на нормални вектори да е нула се добива

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$ ,

или запишано по координати ја дава равенката

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ ,

која претставува таканаречен точка-нормала облик равенка на рамнина.

Пример 2 . Да се напише равенка на рамнина која поминува низ точката $M(\mathrm{2,}-\mathrm{3,1})$ и е нормална на векторот $\overrightarrow{n}$ = {4, 2, –3}.

Решение. Бараната рамнина ќе има равенка

$4(x-2)+2(y-(-3))-3(z-1)=0$

или

$\mathrm{4x}+\mathrm{2y}-\mathrm{3z}+1=0$ .◄

Општ вид равенка на рамнина

Ако во равенката на рамнина (2) се ослободиме од заградите се добива равенката

$\text{Ax}+\text{By}+\text{Cz}-{\text{Ax}}_0-{\text{By}}_0-{\text{Cz}}_0=0$ ,

или општо

и претставува општ вид равенка на рамнина во простор. Како што се гледа од равенката, општиот вид равенка на рамнина е линеарна равенка со три непознати. Коефициентите $A,B,C$ пред променливите се координатите на нормалниот вектор.

Понатаму ќе се прикажe општиот вид на равенка на некои специјални рамнин и кои се добиваат кога некој од коефициентите во равенката е нула.

• Ако слободниот член е нула, т.е. $D=0$ , рамнината минува низ координатниот почеток и општата равенка на таквата рамнина е