Вектори  (Page 2/2)

- насока на векторот е ориентацијата од неговата почетна кон крај­ната точка.

Видови вектори

Векторите може да бидат:

- Вектори врзани за точка;

- Вектори врзани за права (носач);

- Слободни вектори.

Слободните вектори не се врзани ниту за почетната точка ниту за правата на која лежат и тие може слободно да се транслатираат во просторот. При транслација векторите си ја запазуваат должината и насоката, а носачите им се паралелни прави. Понатаму, под поимот вектор ќе се подразбира слободен вектор.

Слободните вектори се еднакви ако имаат еднакви интензитети, лежат на иста или на паралелни прави и имаат исти насоки.

Дефиниција . Нула вектор е вектор на кој му се поклопуваат почетната и крајната точка.

Нула векторот нема определен правец и насока и се означува со $\overrightarrow{o}$ . Секоја точка може да се смета за нула вектор со нула интензитет и со произволен правец и насока.

Основни операции со вектори

Најпрво геометриски ќе ги дефинирме основните операции со векторите.

Збир на вектори

Нека се дадени векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ . Векторот $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ се нарекува збир на векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ и геометриски може да се определи по правилото на триаголник или паралелограм.

За да се примени правилото на триаголник, на крајот од првиот вектор се надоврзува почетокот на вториот вектор и збирот ќе биде векторот со почеток во почетокот на првиот вектор, а крајот е во крајната точка од вториот вектор (Сл. 1.3. а).

За определување на збирот на два вектора по правилото на паралелограм, векторите се доведуваат до заеднички почеток при што тие се две соседни страни на еден паралелограм, а збирот на овие вектори е дијагоналата во паралелограмот која почнува во заедничкиот почеток на векторите (Сл. 1.3. б)

Дефиниција . Вектори кои имаат исти должини и правец, а спротивни насоки се нарекуваат спротивни вектори .

Така, спротивни се векторите $\overrightarrow{a}$ и $-\overrightarrow{a}$ .

Разлика на вектори

Нека $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се вектори, тогаш векторот $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ се нарекува разлика на векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ и геометриски се определува како вектор формиран меѓу крајните точки на векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ кои се доведени до заеднички почеток и со насока од крајот на векторот $\overrightarrow{b}$ кон крајот на векторот $\overrightarrow{a}$ (Сл. 1.3. в).

Слика 1.3. а) Збир на вектори по правило на триаголник; б) Збир по правило на паралелограм; в) Разлика на вектори

Множење на вектор со скалар

Производот на скаларот λ≠0 со векторот $\overrightarrow{a}$ (Сл.1.4.) е вектор λ $\overrightarrow{a}$ кој е определен со:

- интензитет $\mid \lambda \overrightarrow{a}\mid =\mid \lambda \mid \mid \overrightarrow{a\mid }$ ;

- правец кој е ист со правецот на векторот $\overrightarrow{a}$ ;

- насоката е иста со насоката на векторот $\overrightarrow{a}$ ако λ>0, или е со спротивна насока од $\overrightarrow{a}$ ако λ<0.

Слика 1.4. Множење на вектор со скалар

Пример 1. ( Теорема за средна линија во триаголник ) Да се покаже дека средната линија во триаголник е паралелна со спротивната старана на триаголникот и е со должина половина од неа (Сл. 1.5.).

Доказ: Во триаголникот ABC страните му се векторите $\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{CA}}$ образувани од трите темиња А , B , C . Нека точките М и N се средини на страните АC и BC . При тоа $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}}=0$ и $\overrightarrow{\text{NB}}+\overrightarrow{\text{NC}}=0$ .

Слика 1.5. Средна линија во триаголник

Изразувајќи го векторот $\overrightarrow{\text{MN}}$ на два начини, како збир од векторите на страните од четириаголникот MABN и триаголникот MNC , се добиваат равенствата

$\overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BN}}$

и

и со нивно собирање се добива

$2\overrightarrow{\text{MN}}=(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}})+\overrightarrow{\text{AB}}+(\overrightarrow{\text{BN}}+\overrightarrow{\text{CN}})=0+\overrightarrow{\text{AB}}+0=\overrightarrow{\text{AB}}$ ,

од каде

$\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{2}$ ,

што покажува дека средната линија MN е паралелна со основата на триаголникот и е половина од должината на таа страна. ◄

Дефиниција. Ако векторот $\overrightarrow{a}$ може са се запише како како сума на n производи меѓу скаларите ${\lambda }_i$ и векторите $\overrightarrow{a_i}$ , односно со релацијата

$\overrightarrow{a}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a_i}$ ,

за векторот $\overrightarrow{a}$ се вели дека е линеарна комбинација на векторите $\overrightarrow{a_i}$ и скаларите ${\lambda }_i$ .

Векторите $\overrightarrow{a_i}$ се нарекуваат компоненти на векторот $\overrightarrow{a}$ . Ако векторот $\overrightarrow{a}$ не може да се напише како линеарна комбинација од векторите $\overrightarrow{a_i}$ , односно ако $\overrightarrow{a}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\overrightarrow{a_i}$ е можно единствено кога сите скалари ${\lambda }_i$ = 0, тогаш векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{a_i}$ се линеарно независни .

Дефиниција . Вектор со интензитет еднаков на 1 се нарекува единичен вектор .

Единичен вектор кој има ист правец и насока со векторот $\overrightarrow{a}$ се нарекува негов единичен вектор, се означува со $\overrightarrow{a_0}$ и се определува со релацијата

$\overrightarrow{a_0}=\frac{\overrightarrow{a}}{\mid \overrightarrow{a}\mid }$ .

Дефиниција . Вектори кои лежат на иста права или на паралелни прави се нарекуваат колинеарни вектори .

Два колинеарни вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се запишуваат како $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$ , (λ ≠ 0, $\lambda \in R$ ).