Елементи од математичка логика

Елементи од математичка логика

Во математиката, како и во секојдневниот говор, се користат реченици со кои се искажуваат одредени тврдења кои се нарекуваат искази . Исказите може да бидат вистинити или невистинити. Вистинитоста на исказот се означува со симболот T (се чита “те”), а невистинитоста со $\begin{array}{}\perp \\ \end{array}$ (се чита “не те”). Исказите се означуваат со малите букви од латиницата, на пр. исказ $p$ или исказ $q$ . Врз исказите може да се применуваат логички операции и тогаш формираат посложени искази.

Операции со логички искази

За логичките искази важат следниве операции:

Негација

Негација на исказот $p$ e логички исказ со спротивна вистинитосна вредност од онаа на исказот $p$ и се означува со

$\neg p$ (или $\bar{p}$ ).

На пр. ако $p$ е вистинит исказ, тогаш $\neg p$ е невистинит и обратно.

Конјункција

Операцијата конјункција на два логички искази $p$ и $q$ се означува со

$p\wedge q$

и за неа се користи знакот $\begin{array}{}\wedge \\ \end{array}$ кој се чита “и”. Со оваа опе­ра­ција се формира сложен логички исказ кој добива висти­ни­тосна вредност точно ако и само ако и двата искази $p$ и $q$ имаат вредност точно, а неточно во останатите случаи.

Дисјункција

Дисјункција на два логички искази $p$ и $q$ се означува со

$p\vee q$

а знакот за дисјункција $\begin{array}{}\vee \\ \end{array}$ се чита “или”. Вистинитосната вред­ност на исказ со дисјункција на логички искази има вредност точно ако барем еден од исказите има вредност точно.

Импликација

За логичката операција импликација се користи ознаката $\Rightarrow$ и сложениот логички исказ со импликација се означува со

$p\Rightarrow q$ .

Овој исказ се чита “од $p$ следува $q$ ” или “ $q$ е последица од $p$ ”. Вистинитосната вредност на исказ со импликација е неточно ако и само ако $p$ е точно а $q$ е неточно.

Еквиваленција

За операцијата еквиваленција се користи ознаката $\iff$ . Еквива­ленци­јата на два искази се означува со

$p\iff q$

и се чита “ $p$ е еквивалентно со $q$ ”. Вистинитосна вредност на исказ со еквиваленција е точно ако и само ако двата искази $p$ и $q$ имаат иста висти­нитосна вредност. Еквиваленцијата означува дека $(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$ .