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La transformada z: definición

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Una definicion breve de la transformada-z, que explica su relacion con la transformada de Fourier y su region de convergencia,ROC.

Definición básica de la transformada-z

La transformada-z de una secuencia es definida por

X z n ∞ ∞ x n z n
Algunas veces esta ecuación es conocida como la transformada-z bilateral . En veces la transformada-z es definida por
X z n 0 ∞ x n z n
la cual es conocida como la transformada-z unilateral .

Hay una relación cercana entre la transformada-z y la transformada de Fourier de una señal discreta, la cual es definida como

X ω n ∞ ∞ x n ω n
Note que cuando z n es remplazada con ω n la transformada-z se convierte en la transformada de Fourier. Cuando la transformada de Fourier existe, z ω , la cual debe de tener la magnitud unitaria para z .

El plano complejo

Para entender la relación entre la transformada de fourier y la transformada-z uno tiene que ver el plano complejo o el plano-z . echemos un vistazo al plano complejo:

Plano-z

El plano-Z es un plano complejo con un eje imaginario y real que se reflejen eso se refiere a la variable compleja z . . La posición en el plano complejo es dada por r ω , y elángulo se toma del eje real positive al rededor del plano y es dado por ω . X z es definida en todos los lados del plano. X ω es definida solo donde z 1 , la cual se refiere al circulo unitario. Por ejemplo, ω 1 en z 1 y ω en z -1 . Esto ayuda por que, al representar la transformada de fourier como una transformada-z en el círculo unitario, se puede ver muy fácilmente la periodicidad de la transformada de Fourier.

Región de convergencia

La región de convergencia, también conocida como ROC , es importante entender por que define la región donde la transformada-z existe. La ROC para una x n , is defined as the range of z es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia , converge cuando x n z n es absolutamente sumable. En otras palabras,

n ∞ ∞ x n z n ∞
Se tiene que satisface para la convergencia. Esto se explica mejor al ver las diferentes ROC de las transformadas-z de α n u n y α n u n 1 .

Para

x n α n u n

x n α n u n donde α 0.5 .

X z n ∞ ∞ x n z n n ∞ ∞ α n u n z n n 0 ∞ α n z n n 0 ∞ α z 1 n
Esta secuencia es un ejemplo de una exponencial del lado derecho por que tiene un valor de no cero para n 0 . Solo converge cuando α z 1 . Cuando converge,
X z 1 1 α z z z α
Si α z 1 , entonces las series, n 0 ∞ α z n no convergen. Asíque el ROC es el rango de valores cuando
α z 1
o, equivalentemente,
z α

ROC para x n α n u n donde α 0.5
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Para

x n α n u n 1

x n α n u n 1 donde α 0.5 .

X z n ∞ ∞ x n z n n ∞ ∞ α n u -n 1 z n n ∞ -1 α n z n n ∞ -1 α -1 z n n 1 ∞ α -1 z n 1 n 0 ∞ α -1 z n
En este caso la ROC es en el rango de valores donde
α -1 z 1
o, equivalentemente
z α
Si la ROC se satisface, entonces
X z 1 1 1 α -1 z z z α

ROC para x n α n u n 1
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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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