Espacios vectoriales

Introducción

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial $S$ es una colección de “vectores” tal que (1) si $f_1\in S\implies \alpha f_1\in S$ para todo escalar $\alpha$ (donde $\alpha \in \mathbb{R}$ ó $\alpha \in \mathbb{C}$ ) y (2) si $f_1\in S$ , $f_2\in S$ , entonces $(f_1+f_2)\in S$

• Un conjunto de cosas llamadas "vectores" ( $X$ )
• Un conjunto de cosas llamadas "escalares" ( $A$ )
• Un operador de adición de vectores ( $$ )
• Un operador de multiplicación escalar ( $*$ )

Espacio vectorial

Si los escalares $\alpha$ son reales, $S$ es llamado un espacio vectorial real .

Si los escalares $\alpha$ son complejos, $S$ es llamado un espacio vectorial complejo .

Si los"vectores" en $S$ son funciones o variables continuas, muchas veces $S$ es llamado un espacio lineal de funciones.

Propiedades

Definimos un conjunto $V$ para ser un espacio vectorial si

• $x+y=y+x$ para cada $x$ y $y$ en $V$
• $x+(y+z)()=(x+y)()+z$ para cada $x$ , $y$ , y $z$ en $V$
• Hay un único "vector cero" tal que $x+0=x$ para cada $x$ en $V$
• Para cada $x$ en $V$ Hay un vector único $-x$ tal que $x+-x=0$ .
• $1x=x$
• $(c_1{c}_2)x=c_1(c_{2}x)$ para cada $x$ en $V$ and $c_1$ y $c_2$ en $ℂ$ .
• $c(x+y)=cx+cy$ para cada $x$ y $y$ en $V$ y $c$ en $ℂ$ .
• $(c_1+c_2)x=c_{1}x+c_{2}x$ para cada $x$ en $V$ y $c_1$ y $c_2$ en $ℂ$ .

Examples

• $\mathbb{R}^n=\mathrm{espacio\; vectorial\; real}$
• $\mathbb{C}^n=\mathrm{espacio\; vectorial\; complejo}$
• $L^1(\mathbb{R})=\{f(t)\colon \int_{()} \,d t\}$∞ ∞ f t ∞ f t es un espacio vectorial
• $L^{\infty }(\mathbb{R})=\{f(t)\colon f\left(t\right)\mathrm{ es acotado}\}$ es un espacio vectorial
• $L^2(\mathbb{R})=\{f(t)\colon \int_{()} \,d t\}$∞ ∞ f t 2 ∞ f t señales de energia finitas es un espacio vectorial
• $L^2(\left[0 , T\right]())=\mathrm{funciones\; de\; energia\; finita\; en\; un\; intervalo\; [0,T]}$
• ${\ell }^1(\mathbb{Z})$ , ${\ell }^2(\mathbb{Z})$ , ${\ell }^{\infty }(\mathbb{Z})$ son espacios vectoriales
• La colección de funciones por pedazos constantes entre los enteros y el espacio vectorial

• ${ℝ}_{+}^2=\{\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\end{array}\right)\colon (x_0> 0)\land (x_1> 0)\}$ es no un espacio vectorial. $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\in {ℝ}_{+}^2$ , pero $\forall \alpha , \alpha < 0\colon \alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\notin {ℝ}_{+}^2$
• $D=\{\forall z, \left|z\right|\le 1\colon z\in \mathbb{C}\}$ es no un espacio vectorial. $(z_1=1)\in D$ , $(z_2=i)\in D$ , pero $(z_1+z_2)\notin D$ , $\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{2}> 1$