Espacios vectoriales

Ejercicios 6.1 Espacios Vectoriales realesDaniel Felipe González Obando

Texto ÁLGEBRA LINEAL. Bernard Kolman, David R. Hill

3. Determine si el conjunto dado V es cerrado bajo las operaciones $\oplus$ y $\odot$ .

V es el conjunto de todos los polinomios de la forma $a{t}^2+bt+c$ donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales, y $b=a+1$ ;

y

13. determine si el conjunto dado, junto con las operaciones dadas es un espacio vectorial. Si no lo es, enumere las propiedades de la definición 1 queno se cumplen.

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma $(0,0,z)$ con las operaciones

y

Solución.

3.

Proof El problema nos dice $a{t}^2+bt+c$ ; $a,b,c\in \mathbb{R}$ ; y $b=a+1$

entonces si

tendremos

cambiando $b$ por $a+1$ ,

reduciendo la expresión $(a_1+1+a_2+1_{})$ ,

tomando $a_1+a_2$ como $a$ ,

y por tanto $b\ne a+2$ , con lo cual concluimos que V no esta cerrado bajo las operaciones $\oplus$ y $\odot$ . $\square$

13.

Proof El problema nos dice que $(0,0,z)\in \mathbb{R}$ y que se cumple $(0,0,z)\oplus (0,0,z^{\text{'}})=(0,0,z+z^{\text{'}})$ y $c\odot (0,0,z)=(0,0,cz)$ , por lo tanto viendo la aplicación de las propiedades comprobaremos si es o no un espacio vectorial.

Si $\overrightarrow{u}=(0,0,z),\overrightarrow{v}=(0,0,z^{\text{'}}),\overrightarrow{w}=(0,0,z^{\text{'}\text{'}})\in V$

• $\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v}\in V$ , esto es $\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v}=(0,0,z+z^{\text{'}})\in V$ , por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa de la suma vectorial.
• $\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\oplus \overrightarrow{u}$ , esto es $(0,0,z+z^{\text{'}})=(0,0,z^{\text{'}}+z)$ , por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa de la suma vectorial.
• $(\overrightarrow{w}\oplus \overrightarrow{v})\oplus \overrightarrow{u}=\overrightarrow{w}\oplus (\overrightarrow{v}\oplus \overrightarrow{u})$ , esto es $(0,0,z^{\text{'}\text{'}}+z^{\text{'}})\oplus (0,0,z)=(0,0,z^{\text{'}\text{'}})\oplus (0,0,z^{\text{'}}+z)$ , que es lo mismo que $(0,0,z^{\text{'}\text{'}}+z^{\text{'}}+z)=(0,0,z^{\text{'}\text{'}}+z^{\text{'}}+z)$ , por lo tanto se cumple la propiedad asociativa de la suma vectorial.
• $\exists !\overrightarrow{0}\in V:\overrightarrow{0}\oplus \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$ , esto es $(0,0,0)\oplus (0,0,z)=(0,0,z)\oplus (0,0,0)=(0,0,z)$ , por lo tanto se cumple la propiedad modulativa de la suma vectorial.
• $\exists !\overrightarrow{-u}\in V:\overrightarrow{-u}\oplus \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{-u}=\overrightarrow{0}$ esto es $(0,0,-z)\oplus (0,0,z)=(0,0,z)\oplus (0,0,-z)=(0,0,0)$ , por lo tanto se cumple la propiedad de la existencia del inverso de la sumavectorial.

Además,

• $a\odot \overrightarrow{u}\in V$ , esto es $a\odot (0,0,z)=(0,0,az)\in V$ , por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa del producto escalar.
• $(a·b)\odot \overrightarrow{u}=a\odot (b\odot \overrightarrow{u})$ , esto es $(a·b)\odot (0,0,z)=a\odot (b\odot (0,0,z\left)\right)=(0,0,abz)$ , por lo cual se cumple la propiedad asociativa del producto escalar.
• $(a+b)\odot \overrightarrow{u}=(a\odot \overrightarrow{u})\oplus (b\odot \overrightarrow{u})$ , esto es $(a+b)\odot (0,0,z)=(a\odot (0,0,z\left)\right)\oplus (b\odot (0,0,z\left)\right)=(0,0,(a+b)·z)$ , por lo tanto se cumple la primera propiedad de distribución del producto escalar.
• $a\odot (\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v})=(a\odot \overrightarrow{u})\oplus (a\odot \overrightarrow{v})$ , esto es $a\odot ((0,0,z)\oplus (0,0,z^{\text{'}}))=(a\odot (0,0,z))\oplus (a\odot (0,0,z^{\text{'}}))=(0,0,a(z+z^{\text{'}}))$ , por lo tanto se cumple la segunda propiedad distributiva del producto escalar.

Una vez desmostradas las propiedades de los espacios vectoriales, podemos decir que $V$ es un espacio vectorial. $\square$