Convergencia de secuencias

¿QuÉEs una secuencia?

secuencia

Una secuencia es una función $g_n$ definida en los enteros positivos ' $n$ '. También denotamos una secuencia por: $(n, \left\{1\right\})$∞ g n

Convergencia de secuencias reales

límite

Una secuencia $(n, \left\{1\right\})$∞ g n converge a un límite $g\in \mathbb{R}$ si para todo $\epsilon > 0$ existe un entero $N$ tal que $$\forall i, i\ge N\colon \left|g_i-g\right|< \epsilon$$ Usualmente denotamos un límite escribiendo $$\lim_{i\to }i\to$$∞ g i g ó $$g_i\to g$$

Problemas

Para practicar, diga cuales de las siguientes secuencias convergen y de el limite si este existe.

• $g_n=n$
• $g_n=\begin{cases}\frac{1}{n} & \text{if $n=\mathrm{par}$}\\ \frac{-1}{n} & \text{if $n=\mathrm{impar}$}\end{cases}()$
• $g_n=\begin{cases}\frac{1}{n} & \text{if $n\neq \mathrm{potencia\; de\; 10}$}\\ 1 & \text{otherwise}\end{cases}()$
• $g_n=\begin{cases}n & \text{if $n< 10^5$}\\ \frac{1}{n} & \text{if $n\ge 10^5$}\end{cases}$
• $g_n=\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$
• $g_n=i^n$