9.2 Meting  (Page 3/3)

Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met ʼn konstante, is dit soos om dieoorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in [link] .

Right piramides, regte kegels (keëls / konusse), sfere

ʼn Piramide is ʼn soliede geometriese figuur met ʼn poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste figure in [link] . Die regterkantste figuur het ʼn toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese figuur word ʼn kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone.

Oppervlakarea van ʼn Piramide

Die oppervlakarea van ʼn piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel.

Volume van ʼn Piramide: Die volume van ʼn piramide word gevind deur:

waar $A$ die area van die basis is en $h$ die hoogte is.

ʼn Kegel is soos ʼn piramide, daarom word die formule vir die volume van ʼn kegel gegee deur:

ʼn Vierkantige piramide se volume:

waar $a$ die sylengte van die vierkantige basis is.

Wat is die volume van ʼn vierkantige piramide, 3cm hoog met ʼn sylengte van 2cm?

1. Bepaal die korrekte formule

   Die volume van ʼn piramide is

   $$V=\frac{1}{3}A•h$$

   waar $A$ die area van die basis en $h$ die hoogte van die piramide is. Vir ʼn vierkantige basis beteken dit

   $$V=\frac{1}{3}a•a•h$$

   waar $a$ die sylengte van die vierkantige basas is.

2. Vervang die gegewe waardes
   $$\begin{array}{ccc}& =& \frac{1}{3}•2•2•3\hfill \\ & =& \frac{1}{3}•12\hfill \\ & =& 4c{m}^3\hfill \end{array}$$

Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van ʼn sfeer (bal).

ʼn Driehoekige piramide word bo-op ʼn driehoekige prisma geplaas. Die prisma het ʼn gelyksydige driehoek met ʼn sylengte van 20 cm as basis en ʼn hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog.

1. Vind die totale volume van die voorwerp.
2. Vind die area van elke vlak van die piramide.
3. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.

1. Vind die volume van die driehoekige prisma Ons gebruik die formule vir die volume van ʼn reghoekige prisma:
   $\begin{array}{ccc}V& =& \frac{1}{2}b{h}^2\hfill \\ & =& \frac{1}{2}20{42}^2\hfill \\ & =& 17640\hfill \end{array}$
2. Vind die volume van ʼn driehoekige piramide Ons gebruik die formule vir die volume van ʼn driehoekige piramide:
   $\begin{array}{ccc}V& =& \frac{1}{6}b{h}^2\hfill \\ & =& \frac{1}{6}20{42}^2\hfill \\ & =& 5880\hfill \end{array}$
3. Vind die volume Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: $17640+5880=23520$ . Dit is die antwoord van a.
4. Vind die area van die vlakke van die piramide Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
   $\begin{array}{ccc}\mathrm{Area}& =& \frac{1}{2}bh\hfill \\ & =& \frac{1}{2}2042\hfill \\ & =& 420\hfill \end{array}$
   Dit is die antwoord van vraag b.
5. Vind die oppervlakarea van die piramide Die totale area is $4\times 420=1680$
6. Vind die area van die prisma Die oppervlakarea van die prisma is:
   $\begin{array}{ccc}\mathrm{Oppervlakarea}& =& b\times h+2\times H\times S+H\times b\hfill \\ & =& \mathrm{20}\times \mathrm{20}+2\times \mathrm{12}\times \mathrm{20}+\mathrm{12}\times \mathrm{20}\hfill \\ & =& 1120\hfill \end{array}$
7. Vind die totale oppervlakarea Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as: $1120-420+1680-420=1960$ Dit is die antwoord van vraag c.

Oppervlakarea en volume

1. Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.)

   

2. Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?