8.1 Análisis de fourier en espacios complejos

Introducción

Para este momento usted debería estar familiarizado con la derivación de la series de Fourier de tiempo continuo, funciones periódicas . Esta derivación nos lleva a las siguientes ecuaciones las cuales usted debería conocer:

En este módulo derivaremos una expansión similar para funciones periódicas y discretas en el tiempo. Al hacerlo, nosotros derivaremos las series de Fourier discretas en el tiempo (DTFS), también conocidas como trasformadas discretas de Fourier (DFT).

Derivación del dtfs

Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo $\left[0 , T\right]$

Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo $N$ ) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde $N=4$ : $$\{\dots , 3, 2, -2, 1, 3, \dots \}$$ ;Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:

Senosoidales complejos

Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así: $$e^{i\omega n}$$

En el plano complejo

Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo , el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características:

Cuando $n$ incrementa, podemos ver $e^{i\omega n}$ igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguiente figuras para una mejor ilustración: