7.9 Base de la ondoleta de haar

IntroducciÓN

Las series de Fourier es unaútil representación ortonormal en $L^2(\left[0 , T\right])$ especialmente para entradas en sistemas LTI. Sin embargo esútil para algunas aplicaciones, es decir, procesamiento de imagenes (recordando el fenomeno de Gibb ).

Las ondoletas , descubiertas en los pasados 15 años, son otro tipos de base para $L^2(\left[0 , T\right])$ y tiene varias propiedades.

ComparaciÓN de base

Las series de Fourier - $c_n$ dan información frecuente. Las funciones de la base duran todo el intervalo entero.

Ondoletas - las funciones de la base con frecuencia nos dan información pero es local en el tiempo.

En la base de Fourier, las funciones de la base son armónicas multiples de $e^{i{\omega }_{0}t}$

En la base de la ondoleta de Haar , las funciones de la base son escaladas y trasladadas de la version de la "ondoleta madre" $\psi (t)$ .

Funciones base $\{{\psi }_{j,k}(t)\}$ se les pone uníndice por un escalar j y un desplazamiento k.

Sea $\forall , 0\le t< T\colon \phi (t)=1$ Entonces $\{\phi (t)2^{\left(\frac{j}{2}\right)}\psi (2^{j}t-k)\colon j\in \mathbb{Z}\land (k=0,1,2,\dots ,2^j-1)\}$

Sea ${\psi }_{j,k}(t)=2^{\left(\frac{j}{2}\right)}\psi (2^{j}t-k)$

Más grande $j$ →"delgado" la función de la base , $j=\{0, 1, 2, \dots \}$ , $2^j$ cambia a cada escala: $k=0,1,\dots ,2^j-1$

Checar: cada ${\psi }_{j,k}(t)$ tiene energia unitaria

Cualesquiera dos funciones de la base son ortogonales.

También, $\{{\psi }_{j,k}, \phi \}$ generan $L^2(\left[0 , T\right])$

Transformada de la ondoleta de haar

Usando lo que conocemos sobre espacios de Hilbert : Para cualquier $f(t)\in L^2(\left[0 , T\right])$ , podemos escribir