7.7 Expansión de bases ortonormales

Idea principal

Cuando trabajamos con señales muchas veces esútil romper la señal en pequeñas, partes mas manejables. Por suerte en este momento usted ya ha sido expuesto al concepto de eigenvectores y su uso en la descomposición de una señal en una de sus posibles bases. Haciendo esto, somos capaces de simplificar el nuestro cálculo de señales y sistemas a través de las eigenfunciones de los sistemas LTI .

Ahora veremos una forma alternativa de representar las señales, a través del uso de una base ortonormal. Podemos pensar en una base ortonormal como un conjunto de bloques construidos que utilizamos para construir funciones. Construiremos la señal/ vector como una suma cargada de elementos base.

RepresentaciÓN alternativa

Recordando nuestra definición de base : Un conjunto de vectores $\{b_i\}$ en un espacio vectorial $S$ es una base si

• Las $b_i$ son linealmente independientes.
• Los $b_i$ que generan $S$ . Esto es, podemos encontrar $\{{\alpha }_i\}$ , donde ${\alpha }_i\in \mathbb{C}$ (escalares) tal que
  $\forall x, x\in S\colon x=\sum {\alpha }_i{b}_i$
  donde $x$ es un vector en $S$ , $\alpha$ es un escalar en $\mathbb{C}$ , y $b$ es un vector en $S$ .

La condición 2 en la definición anterior dice que podemos descomponer cualquier vector en términos de la $\{b_i\}$ . Condición 1 asegura que la descomposición es única .

En general, dada una base $\{b_0, b_1\}()$ y un vector $x\in {ℝ}^2$ , como encontramos ${\alpha }_0$ y ${\alpha }_1$ tal que

Encontrando los alfas

Ahora tratemos con la pregunta que se presentóarriba sobre encontrar los ${\alpha }_i$ 's en genral para ${ℝ}^2$ . Empezamos reescribiendo la asíque podemos apilar nuestras $b_i$ 's como columnas en una matriz de 2×2.

Simplificando nuestra ecuaciÓN

Para hacer una notación simple, definimos los siguientes dos conceptos de la ecuación anterior:

• Matriz de la Base : $$B=\begin{pmatrix}⋮ & ⋮\\ b_0 & b_1\\ ⋮ & ⋮\\ \end{pmatrix}()$$
• Vector de Coeficientes : $$\alpha =\begin{pmatrix}{\alpha }_0\\ {\alpha }_1\\ \end{pmatrix}()$$

Para obtener las ${\alpha }_i$ 's, resolvemos para el vector de coeficientes en la

Ejemplos

Extendiendo la dimensiÓN y el espacio

Podemos extender estas ideas más alla de ${ℝ}^2$ y verlas en ${ℝ}^n$ y ${ℂ}^n$ . Este procedimiento se extendiende naturalmente a dimensiones mas grandes (>2) . Dada la base $\{b_0, b_1, \dots , b_{n-1}\}$ para ${ℝ}^n$ , queremos encontrar $\{{\alpha }_0, {\alpha }_1, \dots , {\alpha }_{n-1}\}$ tal que