7.12 Approximación y proyección en el espacio de hilbert

$x\in \mathbb{R}^3$ , $V=\mathrm{espacio\; generado}(\{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\})$ , $x=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\\ \end{pmatrix}$ . Por lo tanto, $$y=\sum_{i=1}^2 (x\cdot b_i)b_i=a\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\\ \end{pmatrix}$$

V = {espacio de las señales periódicas con frecuancia no mayor que $3w_0$ }. Dada f(t) periódica,¿Cúal es la señal en V que mejor se aproxima a f?

• { $\frac{1}{\sqrt{T}}e^{i{w}_{0}kt}$ , k = -3, -2, ..., 2, 3} es una ONB para V
• $g(t)=\frac{1}{T}\sum_{k=-3}^3 (f(t)\cdot e^{i{w}_{0}kt})e^{i{w}_{0}kt}$ es la señal más cercana en V para f(t)⇒reconstruya f(t) usando solamente 7 términos de su serie de Fourier .

Sea V = { funciones constantes por trozos entre los números enteros}

• ONB para V.

$$b_i=\begin{cases}1 & \text{if $i-1\le t< i$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ donde { $b_i$ } es una ONB.

¿La mejor aproximación constante por trozos? $$g(t)=\sum_{i=()}$$∞ ∞ f b i b i $$f\cdot b_i=\int_{()} \,d t$$∞ ∞ f t b i t t i 1 i f t

Esta demostración explora la aproximación usando una base de Fourier y una base de las ondoletas de Haar. Véase aqui para las instrucciones de como usar el demo.