7.11 Teoremas de plancharel y parseval

Teorema de plancharel

Teorema de plancharel

El producto interno de dos vectores/señales es el mismo que en $\ell ^2$ el producto interno de su expansión de coeficientes.

Sea $\{b_i\}$ una base ortonormal para un Espacio de Hilbert $H$ . $x\in H$ , $y\in H$ $$x=\sum {\alpha }_i{b}_i$$ $$y=\sum {\beta }_i{b}_i$$ entonces $${x\cdot y}_H=\sum {\alpha }_i\overline{{\beta }_i}$$

$$x=\sum {\alpha }_i{b}_i$$ $$y=\sum {\beta }_j{b}_j$$ $${x\cdot y}_H=\sum {\alpha }_i{b}_i\cdot \sum {\beta }_j{b}_j=\sum {\alpha }_i(b_i\cdot \sum {\beta }_j{b}_j)=\sum {\alpha }_i\sum \overline{{\beta }_j}(b_i\cdot b_j)=\sum {\alpha }_i\overline{{\beta }_i}$$ usando las reglas del producto interno .

Si el espacio de Hillbert H tiene un ONB, los productos internos son equivalentes a los productos internos en $\ell ^2$ .

Todo H con ONB son de alguna manera equivalente a $\ell ^2$ .

Teorema de parseval

Teorema de parseval

La energía de una señal = suma de los cuadrados de su expansión de coeficientes.

Sea $x\in H$ , $\{b_i\}$ ONB

$$x=\sum {\alpha }_i{b}_i$$ Entonces $$(, x)^2=\sum \left|{\alpha }_i\right|^2$$

Directamente de Plancharel $$(, x)^2={x\cdot x}_H=\sum {\alpha }_i\overline{{\alpha }_i}=\sum \left|{\alpha }_i\right|^2$$