7.1 Normas

IntroducciÓN

Mucho del lenguaje utilizado en esta sección seráfamiliar para usted- debe de haber estado expuesto a los conceptos de

• producto interno
• ortogonalidad
• expansión de base

Normas

La norma de un vector es un número real que representa el "tamaño" de el vector.

Para ser una norma, $(·)$ debe satisfacer:

• la norma de todo vector es positiva $\forall x, x\in S\colon (x)> 0$
• escalando el vector, se escala la norma por la misma cantidad $(\alpha x)=\left|\alpha \right|(x)$ para todos los vectores $x$ y escalares $\alpha$
• Propiedad del Triángulo: $(x+y)\le (x)+(y)$ para todos los vectores $x$ , $y$ .“El“tamaño“de la suma de dos vectores es menor o igual a la suma de sus tamaños”

Un espacio vectorial con una norma bien definida es llamado un espacio vectorial normado o espacio lineal normado .

Ejemplos

Espacios de secuencias y funciones

Podemos definir normas similares para espacios de secuencias y funciones.

Señales de tiempo discreto= secuencia de números $$x(n)=\{\dots , x_{-2}, x_{-1}, x_0, x_1, x_2, \dots \}$$

• $(, x(n))=\sum_{i=()}$∞ ∞ x i , $x(n)\in {\ell }^1\left(\mathbb{Z}\right)\implies ((, x))$∞
• $(, x(n))=\sum_{i=()} ^{}$∞ ∞ x i 2 1 2 , $x(n)\in {\ell }^2\left(\mathbb{Z}\right)\implies ((, x))$∞
• $(, x(n))=\sum_{i=()} ^{}$∞ ∞ x i p 1 p , $x(n)\in {\ell }^p\left(\mathbb{Z}\right)\implies ((, x))$∞
• $()$∞ x n sup i | x [ i ] | , $x(n)\in {\ell }^{\infty }\left(\mathbb{Z}\right)\implies (())$∞ x ∞

Para funciones continuas en el tiempo:

• $(, f(t))=\int_{()} \,d t^{}$∞ ∞ f t p 1 p , $f(t)\in L^p\left(ℝ\right)\implies ((, f(t)))$∞
• (En el intervalo) $(, f(t))=\int_0^T \left|f(t)\right|^p\,d t^{\left(\frac{1}{p}\right)}$ , $f(t)\in L^p\left(\right[0,T\left]\right)\implies ((, f(t)))$∞