6.7 Series de fourier y los sistemas lti

¿Quéhace este sistema?

Y,¿estésistema?

El circuito rc

$$h(t)=\frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t)$$

¿Quées lo que este sistema hace a las series de fourier de la $f(t)$ ?

Calcula los eigenvalores de este sistema

Ahora, decimos que a este circuito RC lo alimentamos con una entrada $f(t)$ periódica (con periodo $T=2\pi w_0$ ).

Vea los eigen valores para $s=i{w}_{0}n$ $$\left|H(i{w}_{0}n)\right|=\frac{1}{\left|1+RCi{w}_{0}n\right|}=\frac{1}{\sqrt{1+R^{2}C^2{w}_0^{2}n^2}}$$

El circuito RC es un sistema pasa bajas : pasa frecuencias bajas $n$ alrededor de $0$ ) atenúa frecuencias altas ( $n$ grandes).

PulsÓCuadrado a travÉS del circuito rc

• Señal de entrada : tomando las series de Fourier $f(t)$ $$c_n=\frac{1}{2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}n)}{\frac{\pi }{2}n}$$ $\frac{1}{t}$ en $n=0$
• Sistema : Eigenvalores $$H(i{w}_{0}n)=\frac{1}{1+iRC{w}_{0}n}$$
• Señal de salida: tomando las series de Fourier de $y(t)$ $$d_n=H(i{w}_{0}n)c_n=\frac{1}{1+iRC{w}_{0}n}\frac{1}{2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}n)}{\frac{\pi }{2}n}$$

$$d_n=\frac{1}{1+iRC{w}_{0}n}\frac{1}{2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}n)}{\frac{\pi }{2}n}$$ $$y(t)=\sum d_{n}e^{i{w}_{0}nt}$$

¿Quépodemos decir sobre $y(t)$ de $\{d_n\}$ ?

• ¿Es $y(t)$ real?
• ¿Es $y(t)$ simétrico par?¿simétrico impar?
• ¿Comóse $y(t)$ ¿es mas“suave”que $f(t)$ ? (el radio de descomposición de $d_n$ vs. $c_n$ )

$$d_n=\frac{1}{1+iRC{w}_{0}n}\frac{1}{2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}n)}{\frac{\pi }{2}n}$$ $$\left|d_n\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(RC{w}_0)^{2}n^2}}\frac{1}{2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}n)}{\frac{\pi }{2}n}$$