Este modulo da un resumen de conceptos basicos de las series de Fourier y se daran herramientas para descomponer y aproximar una señal.
IntroducciÓN
El
integral de convolucion es una expresión fundamental que relación la entrada y la salida de un sistema LTI. Sin embargo, tiene tres problemas:
Puede ser tediosa para calcular.
Ofrece una interpretación física limitada de lo que el sistema esta realmente hacienda.
Da muy poca información de como diseñar sistemas para lograr ciertas funciones.
Las
series de Fourier , junto la transformada de Fourier y la transformada de La Place, provee una manera de resolver estos tres puntos. El concepto de
eigenfuncion (o
eigenvector ) es esencial para todos estos métodos. Ahora veremos como podemos re-escribir cualquier señal
, en términos de
exponenciales complejos .
De hecho, al hacer nuestras anotaciones de señales y sistemas lineares menos matemáticas, podemos extraer paralelos entre señales y sistemas con y
algebra linear .
Eigenfunciones en sistemas lti
La acción que ejerce un sistema LTI
en una de sus eigenfunciones
es
Extremadamente fácil (y rápida) de calcular
Fácil de interpretar:
nada mas
escala
, manteniendo una frecuencia constante.
Si tan solo todas las funciones fueran funciones de
...
Sistemas lti
... claro, no todas las funciones pueden ser esto pero para sistemas LTI, sus eigenfunciones
expanden el espacio de
funciones periódicas , lo que significa que para, (casi) todas las funciones periódicas podemos encontrar
we can find
where
and
such that:
Dada
, podemos re-escribir
como el siguiente sistema
Funciones de Transferencia modeladas como un sistema LTI.
Donde tenemos:
Esta transformación de
en
también se puede ilustrar a través del proceso mostrado abajo.
Donde los tres pasos (flecha) en nuestra ilustración de arriba y representa a las siguientes tres operaciones:
Transformación con análisis(ecuación de
coeficientes de Fourier ):
La acción de
en las
series de Fourier –iguala a una multiplicación por
Regrese a las antiguas bases- transforme inversamente usando nuestra ecuación de síntesis que viene de las series de Fourier:
InterpretaciÓN fÍSica de las series de fourier
Las series de Fourier
de una señal
, definida en
, tiene una interpretación física muy importante. El coeficiente
nos dice“que tanto”de la frecuencia
existe en la señal.
Señales que cambien lentamente en el tiempo- señales
suaves - tienen un gran
para pequeñas
.
Empezaremos con nuestra señal suave
en la izquierda, y despues usaremos las series de Fourier para encontrar los coeficientes de Fourier- lo cual se muestra en la figura de la derecha.
Señales que cambian rápidamente con el tiempo-
señales ruidosas -tienen una gran
para grandes
.
Empezaremos con nuestra señal ruidosa
en el lado izquierdo, y usaremos las series de Fourier pada encontrar los coeficientes de Fourier- lo cual se muestra en la figura de la derecha.
Pulso periÓDico
Tenemos la siguiente función de pulso,
, en el intervalo
:
Señal Periodica
Usando nuestra formula para los coeficientes de Fourier,
Podemos calcular fácilmente nuestra
.¡Dejaremos este cálculo como ejercicio para usted! Después de resolver la ecuación para nuestra
, obtenemos el siguiente resultado:
Para
, vea la siguiente figura para observar los siguientes resultados:
Nuestros coeficientes de Fourier cuando
Nuestra señal
es plana excepto por dos orilla ( discontinuidades). Por esta razón,
alrededor de
son grandes y
se vuelve pequeña cuando
se acerca al infinito.
¿Por qué
para
? (¿quéparte de
se encuentra sobre el pulso de estos valores de
?)
