6.1 Series de fourier: el método de eigenfunciones

IntroducciÓN

Ya que los exponenciales complejos son eigenfunciones para los sistemas lineares invariantes en el tiempo (LTI), calcular los resultados de un sistema LTI $\mathscr{H}$ dado $e^{st}$ como una entrada nos lleva a una simple multiplicación, donde $H(s)\in \mathbb{C}$ es una constante (que depende de S). En la figura mostrada abajo tenemos un simple exponencial como entrada que da el siguiente resultado:

Usando esto y el hecho que $\mathscr{H}$ es linear, calcular $y(t)$ para las combinaciones de exponentes complejos se vuelve fácil de hacer. Esta propiedad de linealidad es descrita por las dos ecuaciones mostradas abajo–donde se muestra la entrada del sistema linear $H$ en el lado izquierdo y la salida (resultado), $y(t)$ , en el lado derecho:

• $$c_{1}e^{s_{1}t}+c_{2}e^{s_{2}t}\to c_{1}H(s_1)e^{s_{1}t}+c_{2}H(s_2)e^{s_{2}t}$$
• $$\sum c_{n}e^{s_{n}t}\to \sum c_{n}H(s_n)e^{s_{n}t}$$

La acción que $H$ ejerce en entradas como las que se muestran en estas dos ecuaciones son fáciles de explicar: $\mathscr{H}$ escala independientemente del exponencial $e^{s_{n}t}$ con un numero complejo diferente $H(s_n)\in \mathbb{C}$ . De esta manera, si podemos describir la función $f(t)$ como la combinación de exponentes complejos esto nos permitiría:

• Calcular el resultado de $\mathscr{H}$ fácilmente dado $f(t)$ como una entrada (tomando en cuenta que conocemos los Eigenvalores $H(s)$ )
• Interpreta como $\mathscr{H}$ manipula $f(t)$

Series de fourier

Joseph Fourier demostróque para una función periódica-T $f(t)$ puede ser escrita como una combinación linear de senosoidales complejos armónicos.

Los $c_n$ -son conocidos como los coeficientes de Fourier - que nos dicen“que tanto”del sinusoidal $e^{i{\omega }_{0}nt}$ esta presente en $f(t)$ . esencialmente descompone $f(t)$ en pedazos, los cuales son procesados fácilmente por una sistema LTI (ya que existe una Eigenfuncion para cada sistema LTI). En términos matemáticos, nos dice de un conjunto de exponenciales complejos armónicos $\{\forall n, n\in \mathbb{Z}\colon e^{i{\omega }_{0}nt}\}$ forman una base para el espacio de funciones T-periódicas continuas. Aquíse muestran algunos ejemplos que les ayudaran a pensar en una señal o función, $f(t)$ , en términos de sus funciones exponenciales bases.

Ejemplos

Para cada una de las funciones de abajo, descomponlas en sus partes más“simples”y encuentra sus coeficientes de Fourier. Oprima para ver la solución.