5.3 Diagonalización de matrices

De nuestro entendimiento de eigenvalores y eigenvectores hemos descubierto ciertas cosas sobre nuestro operador, la matriz $A$ . Sabemos que los eigenvectores de $A$ generan el espacio $\mathbb{C}^n$ y sabemos como expresar cualquier vector $x$ en términos de $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ , entonces tenemos el operador $A$ calculado. Si tenemos $A$ actuando en $x$ , después esto es igual a $A$ actuando en la combinación de los eigenvectores.

Todavía tenemos dos preguntas pendientes:

• ¿Cuándo los eigenvectores $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ de $A$ generan el espacio $\mathbb{C}^n$ (asumiendo que $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ linealmente independientes)?
• ¿Cómo expresamos un vector dado $x$ en términos de $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ ?

1 respuesta a la pregunta #1

Respuesta a la pregunta #2

Comentarios adicionales

Recordemos el conocimiento de funciones y sus bases y examinemos el papel de $V$ . $$x=V\alpha$$ $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=V\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$$ donde $\alpha$ es solo $x$ expresada en una base diferente: $$x=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\dots +x_n\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$ $$x={\alpha }_1\left(\begin{array}{c}⋮\\ v_1\\ ⋮\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{c}⋮\\ v_2\\ ⋮\end{array}\right)+\dots +{\alpha }_n\left(\begin{array}{c}⋮\\ v_n\\ ⋮\end{array}\right)$$ $V$ transforma $x$ de la base canónica a la base $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$

DiagonalizaciÓN de matrices y salidas

También podemos usar los vectores $\{v_1, v_2, \dots , v_n\}()$ para representar la salida $b$ , del sistema: $$b=Ax=A({\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+\dots +{\alpha }_n{v}_n)$$ $$Ax={\alpha }_1{\lambda }_1{v}_1+{\alpha }_2{\lambda }_2{v}_2+\dots +{\alpha }_n{\lambda }_n{v}_n=b$$ $$Ax=\begin{pmatrix}⋮ & ⋮ & & ⋮\\ v_1 & v_2 & \dots & v_n\\ ⋮ & ⋮ & & ⋮\\ \end{pmatrix}()\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_1{\alpha }_n\end{array}\right)$$ $$Ax=V\Lambda \alpha$$ $$Ax=V\Lambda V^{-1}x$$ donde $\Lambda$ es la matriz con eigenvalores en la diagonal: $$\Lambda =\begin{pmatrix}{\lambda }_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & {\lambda }_2 & \dots & 0\\ ⋮ & ⋮ & \ddots & ⋮\\ 0 & 0 & \dots & {\lambda }_n\\ \end{pmatrix}$$ Finalmente, podemos cancelar las $x$ y quedarnos con una ecuación final para $A$ : $$A=V\Lambda V^{-1}$$

1 interpretaciÓN

Para nuestra interpretación, recordemos nuestra formulas: $$\alpha =V^{-1}x$$ $$b=\sum {\alpha }_i{\lambda }_i{v}_i$$ podemos interpretar el funcionamiento de $x$ con $A$ como: $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{\lambda }_1{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_1{\alpha }_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$ Donde los tres pasos (las flechas) en la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:

• Transformar $x$ usando $V^{-1}$ , nos da $\alpha$
• Multiplicar por $\Lambda$
• Transformada Inversa usando $V$ , lo que nos da $b$