5.2 Еден практичен пример за диференцијална равенка од прв ред:

Експонецијален раст на популација

Интересено е да се разгледа проблемот на промена на бројноста на една популација во различни временски интервали или бројноста на популацијата во одредено време да се споредува со некоја почетна или сегашна бројност. Диференцијалните равенки ни даваат математичка алатка со која се овозможува проучување на растењето или опаѓањето (намалувањето) на популација како процес кој континуирано се одвива.

Нека бројноста на една популација во даден момент е $y(t)$ , каде $t$ е времето. Еден од моделите кои го опишуваат растот на популацијата е претставен преку т.н. екпоненцијално растење (опаѓање) кога во произволен временски интервал брзината на растењето (опаѓањето) е пропорционална само со нејзината бројност. Ова е доста груб модел на раст на популација, но е многу едноставен за брзи проценки на растот. Брзината $\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$ на промената на бројноста на популацијата се изразува со

$\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=\text{ky}$

т.е. брзината е пропорционална со бројноста на популацијата $y(t)$ , каде $k$ е коефициент на пропорционалност. Во оваа диференцијална равенка од прв ред ако коефициентот $k>0$ , тој се нарекува константа на растење бидејќи од $k>0\Rightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dt}}>0$ , што значи дека бројноста на популацијата се зголемува. Ако пак , коефициентот $k$ се нарекува константа на опѓање (намалување) на растењето бидејќи од и следува дека бројноста на популацијата се намалува. Затоа коефициентот $k$ се нарекува и брзина на растење/опаѓање на популацијата и обично се изразува во проценти.

Така на пример, ако брзината на растење е $\mathrm{2\%}$ , тоа означува дека $k=\mathrm{0,}\text{02}$ , а ако пак брзината на растење е $-\text{500\%}$ , тогаш $k=-5\text{.}$

Нека сега го решаваме проблемот на експоненцијален модел на растење во кој бројноста на популацијата во даден момент $t=0$ е $y_0$ , т.е. нека е зададено растење со почетен услов

$\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=\text{ky},$ $y(0)=y_0$ .

Најпрво ја решаваме диференцијалната равенка

$\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=\text{ky}$ .

Тоа е диференцијална равенка во која променливите се раздвојуваат

$\frac{\text{dy}}{y}=\text{kdt}$

$\int \frac{\text{dy}}{y}=\int \text{kdt}+C$

$\text{ln}\mid y\mid =\text{kt}+C$

$y=e^{\text{kt}+C}$

и општото решение е

$y={\text{Ce}}^{\text{kt}}$ .

Во општото решение се заменува почетниот услов $y(0)=y_0$ и се добива

$y_0={\text{Ce}}^{k\cdot 0}\Rightarrow C=y_0$

и партикуларно решение на експонецијален раст на популација со почетна бројност $y_0$ е

$y(t)=y_0{e}^{\text{kt}}$ .

Моделот на експоненцијален раст се користи за грубо оценување на растот и ако $k>0$ популацијата расте, а ако , популацијата опаѓа.

Обично во пракса, за растот на популација се добиваат вредности мерени во дискретни чекори, а добиените вредности за бројност на популацијата може да се апроксимираат со непрекината крива.

Сега ќе наведеме два примера во кои се користи моделот на експоненцијален раст на популација.