5.1 Диференцијални равенки од прв ред

Пример 1.

Да се најде општото решение на диференцијалната равенка

$\text{xy}(1+y^2)\text{dx}-(1+x^2)\text{dy}=0\text{.}$

РЕШЕНИЕ.

Во равенката променливите се раздвојуваат

$\frac{x}{1+x^2}\text{dx}-\frac{1}{y(1+y^2)}\text{dy}=0$

и општото решение е

$\int \frac{x}{1+x^2}\text{dx}-\int \frac{1}{y(1+y^2)}\text{dy}=C_1\text{.}$

Со решавање на интегралите се добива

$\frac{1}{2}\text{ln}(1+x^2)-\frac{1}{2}\text{ln}\frac{y^2}{1+y^2}=C_1,$

односно

$\text{ln}(1+x^2)-\text{ln}\frac{y^2}{1+y^2}=\text{ln}C\text{.}$

Интегралната константа $C_1$ е произволна и може да се запише во било каков облик, а и помножена со константа пак ќе биде некоја константа. Во овој пример, бидејќи изразите во решението на равенката се логаритми, таа ќе се запише преку логаритам $C_1=\frac{1}{2}\text{ln}C$ и општото решението ќе има облик

$\text{ln}\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{y^2}=\text{ln}C,$

и по антилогаритмирање

$(1+x^2)(1+y^2)={\text{Cy}}^2\text{.}$ ◄

Пример 2.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

$y-x{y}^{\text{'}}=b+{\text{bx}}^2{y}^{\text{'}}$ , за кое $y=1$ кога $x=1\text{.}$

РЕШЕНИЕ.

Диференцијалната равенка $y-x{y}^{\text{'}}=b+{\text{bx}}^2{y}^{\text{'}}$ се запишува во обликот

$y-b=(x+{\text{bx}}^2)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$

во кој променливите може да се раздвојат

$\frac{\text{dx}}{x+{\text{bx}}^2}=\frac{\text{dy}}{y-b}$

и по решавање на интегралите се добива

$\text{ln}\mid x\mid -\text{ln}\mid x+\frac{1}{b}\mid =\text{ln}\mid y-b\mid +\text{ln}C$

а по антилогаритмирање, општото решение е

$y=\frac{\text{bx}}{C(\text{xb}+1)}+b\text{.}$

Бидејќи во оваа задача се бара да се определи партикуларно решение кое има вредност $y=1$ кога $x=\mathrm{1,}$ овие почетни услови се заменуваат во општото решение $1=\frac{b}{C(b+1)}+b$ од каде се пресметува вредноста на константата $C=\frac{b}{1-b^2}\text{.}$ Заменувајќи ја оваа вредност во општото решение, се добива бараното партикуларно решение кое гласи

$y=\frac{x+b}{\text{xb}+1}$ . ◄