4.5 Екстремни вредности на функција од две променливи

Ќе прикажеме уште една примена на парцијалните изводи на функција од две променли­ви: определување на локалните екстреми на функција.

Нека $z=f(x,y)$ е функција дефинирана во $\epsilon -$ околина на точката $M(a,b)\text{.}$ Точката $M$ е

• точка на локален минимум ако $f(x,y)>f(a,b),\forall (x,y)\in K(M,\epsilon )\cap D_f$ ;

• точка на локален максимум ако .

Локалнитот минимум и максимум се нарекуваат локални екстреми на функцијата. Најмалиот локален минимум (максимум) во разгледуваната област се нарекува глобален минимум (максимум) во таа област.

Потребен услов за локален екстрем:

Ако функцијата $f(x,y)$ има локален екстрем во точката $M(a,b),$ тогаш сите парцијални изводи од прв ред во точката $M$ се еднакви на нула

$\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}=0и\frac{\partial f(a,b)}{\partial y}=0$

или тие не постојат.

Пример 1.

Функцијата $z=1-x^2-y^2$ има локален максимум во точката $M(\mathrm{0,0})$ (Слика 1). Во таа точка функцијата е диференцијабилна и исполент е потребниот услов за локален екстрем

$\frac{\partial z(\mathrm{0,0})}{\partial x}=-\mathrm{2x}{/}_{(\mathrm{0,0})}0$

$\frac{\partial z(\mathrm{0,0})}{\partial y}=-\mathrm{2y}{/}_{(\mathrm{0,0})}0\text{.}$

Слика 1. Локален максимум на диференцијабилна функција

Условот парцијалните изводи од прв ред да се еднакви на нула во точка не е доволен за постоење на локален екстрем во таа точка. На пример, хиперболичниот параболоид чија равенка е $z=\text{xy}$ (Сл. 2) и за кој парцијалните изводи од прв ред во координатниот почеток се еднакви на нула, $z_x^{\text{'}}(\mathrm{0,0})=z_y^{\text{'}}(\mathrm{0,0})=0$ , нема екстрем во координатниот почеток и ваквата точка се нарекува седласта точка .

Сл. 2. Седласта површина и седласта точка

Точката $M(a,b)$ која заедно со својата $\epsilon -$ околина припаѓа на областа на дефини­ра­ност на функцијата $f(x,y)$ за која $f_x^{\text{'}}(a,b)=\mathrm{0,}{f}_y^{\text{'}}(a,b)=0$ се нарекува стационарна точка за функцијата $f\text{.}$ Значи потребен услов за постоење на локален екстрем во дадена точка е таа да е стационарна точка.

За вредностите на вторите парцијални изводи во точката $M(a,b)$ се воведуваат следните ознаки:

Доволен услов за локален екстрем:

Ако точката $M(a,b)$ е стационарна точка за функцијата $f(x,y)$ и ако

Пример 2.

Да се најдат локалните екстремните вредности на функцијата $f(x,y)=\text{xy}(x+y-1)\text{.}$

Решение. Потребниот услов за локален екстрем (постоење на стационарни точки) се определуваат од ситемот равенки

$\begin{array}{}\frac{\partial f}{\partial x}=y(\mathrm{2x}+y-1)\\ \frac{\partial f}{\partial y}=x(x+\mathrm{2y}-1)\text{.}\end{array}$

Решението на системот ги дава четирите стационарни точки на функцијата: $M_1(\mathrm{0,0}),M_2(\mathrm{0,1}),M_3(\mathrm{1,0}),M_4(1/\mathrm{3,1}/3)\text{.}$

Во точките $M_1,M_2,M_3$ не постои екстрем бидејќи во нив

Во точката $M_4$ се добива дека $D=3/9>\mathrm{0,}A=2/3>0$ и таа е точка на локален минимум во која вредноста на функцијата е $f_{\text{min}}=f(1/\mathrm{3,1}/3)=-1/\text{27}\text{.}$ ◄