4.3 Парцијални изводи од имплицитна и сложена функција

Парцијални изводи од имплицитна функција

Нека е зададена функција со две независно променливи $x$ и $y$ во имплицитен облик $F(x,y,z)=0$ , односно нерешлива по функцијата $z$ . Барањето парцијални изводи се врши со диференцирање на имплицитната равенка по соодветната променлива, водејќи сметка дека $z(x,y)$ е функција, па секогаш кога се диференцира по функцијата $z$ изразот ќе се помножи со парцијалниот извод на $z$ по соодветната променлива.

Со диференцирање на имплицитната функција $F(x,y,z)=0$ по променливата $x$

$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z)=0$

се добива

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{0,}$

односно парцијалниот извод на имплицитната функција по промеливата x е

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F_x^{\text{'}}}{F_z^{\text{'}}}$ .

Аналогно, парцијалниот извод на имплицитната функција по промеливата y е

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F_y^{\text{'}}}{F_z^{\text{'}}}$ .

Пример 1 . Да се најдат парцијалните изводи $\frac{\partial z}{\partial x}и\frac{\partial z}{\partial y}$ на имплицитната функција $x^{2}y-3\text{xyz}+e^z=0$ .

Решение. Најпрво се диференцира имплицитната функција $x^{2}y-3\text{xyz}+e^z=0$ по променливата $x$

$2\text{xy}-3\text{yz}-3\text{xy}\frac{\partial z}{\partial x}+e^z\frac{\partial z}{\partial x}=0$

и се добива

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{3\text{yz}-2\text{xy}}{e^z-3\text{xy}}$ .

Аналогно, со диференцирање на функцијата по $y$ се добива

$x^2-3\text{xz}-3\text{xy}\frac{\partial z}{\partial y}+e^z\frac{\partial z}{\partial y}=0$

од каде

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{3\text{xz}-x^2}{e^z-3\text{xy}}$ . ◄

Парцијални изводи од сложена функција

Ако во функцијата со две променливи $z=f(x,y)$ секоја од променли­вите е функци­ја од нова променлива $t$ , односно $x=x(t)$ и $y=y(t),$ тогаш $z=f(x(t),y(t))$ е функција од една променлива $t$ . За ваквата функција се вели дека е сложена функција која зависи од една променлива $t$ посредно преку двете променливи $x$ и $y$ . Ако функциите $x=x(t)$ и $y=y(t)$ се диференцијабилни по променливата $t$ и функцијата $z$ е диференцијабилна по променливите $x$ и $y$ , тогаш изводот на сложената функцијата z е

$\frac{\text{dz}}{\text{dt}}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$ .

Пример 2 . Да се пресмета изводот на функцијата $z=3\text{cos}x-\text{sin}\text{xy},\text{ako}x=1/t,y=\mathrm{3t}$ .

Решение . Се пресметуваат сите изводи:

$\frac{\partial z}{\partial x}=-3\text{sin}x-y\text{cos}\text{xy},\frac{\partial z}{\partial y}=-x\text{cos}\text{xy},\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=-\frac{1}{t^2},\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=3$ .

Заменувајќи ги овие изводи во изразот за изводот $\frac{\text{dz}}{\text{dt}}$ се добива

$\frac{\text{dz}}{\text{dt}}=\left(-3\text{sin}x-y\text{cos}\text{xy}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)+\left(-x\text{cos}\text{xy}\right)3$

и по заменувањето со $x=1/tиy=\mathrm{3t}$

$\frac{\text{dz}}{\text{dt}}=\frac{3}{t^2}\text{sin}\frac{1}{t}$ . ◄

Кога во функцијата со две променливи $z=f(x,y)$ секоја од променли­вите $x$ и $y$ е функција од други две променливи $u$ и $v$ , односно $x=x(u,v),y=y(u,v)$ , тогаш

$z=f(x(u,v),y(u,v))$

е функција од две променливи. Ако функцијата $z$ и нејзините компоненти $x$ и $y$ се диференцијабилни функции, тогаш парцијалните изводи на сложената функцијата $z$ по променливите $u$ и $v$ се

$\begin{array}{}\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\\ и\\ \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\text{.}\end{array}$

Пример 3 . Да се најдат парцијалните изводи $\frac{\partial z}{\partial u}i\frac{\partial z}{\partial v}$ ако $z=e^{x^{2}y};$ $x=\sqrt{\text{uv}},y=1/v\text{.}$

Решение . Парцијалниот извод по $u$ е

$\begin{array}{}\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=\left(2{\text{xye}}^{x^{2}y}\right)\left(\frac{v}{2\sqrt{\text{uv}}}\right)+\left(x^2{e}^{x^{2}y}\right)0=\\ \\ =\left(\frac{2\sqrt{\text{uv}}}{v}{e}^{\frac{\text{uv}}{v}}\right)\left(\frac{v}{2\sqrt{\text{uv}}}\right)=e^u,\end{array}$

а парцијалниот извод по $v$ е

$\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=\left(2{\text{xye}}^{x^{2}y}\right)\left(\frac{u}{2\sqrt{\text{uv}}}\right)+\left(x^2{e}^{x^{2}y}\right)\frac{-1}{v^2}=$

$=\left(\frac{2\sqrt{\text{uv}}}{v}{e}^{\frac{\text{uv}}{v}}\right)\left(\frac{u}{2\sqrt{\text{uv}}}\right)-\frac{\text{uv}}{v^2}{e}^{\frac{\text{uv}}{v}}=\frac{u}{v}{e}^u-\frac{u}{v}{e}^u=0\text{.}$ ◄