4.1 Vergelyking van vierhoeke ten opsigte van verskille en  (Page 2/3)

Die hoogtelyn lê gewoonlik binne die driehoek. Dit is die geval in vier van die ses driehoeke hierbo, maar in die geval van ‘n reghoekige driehoek is die hoogtelyn een van die sye, soos in die vierde driehoek. In die sesde driehoek is dit nodig om die hoogtelyn buite die driehoek te trek.

Opsommend:

As jy die oppervlakte-formule wil gebruik, moet jy ‘n basis en ‘n hoogte hê wat saam hoort en jy moet hulle lengte ken of kan bereken. In sommige van die probleme wat volg, sal jy dalk die oppervlakte van ‘n driehoek moet bereken as deel van die werk.

Kyk weer na die Stelling van Pythagoras; onthou dat dit net op reghoekige driehoeke van toepassing is – maar jy kan van nou af baie van hulle te wagte wees.

I

In ‘n reghoekige driehoek is die vierkant op die skuinssy gelyk aan die som van die vierkante op die ander twee sye.

As jy al vergeet het hoe om die stelling toe te pas, moet jy teruggaan na die oefeninge wat jy alreeds gedoen het om jou geheue te verfris.

• Bereken die oppervlakte van ΔABC met A = 90°, BC = 10 cm en AC = 8 cm. Dit sal help as jy ‘n redelik akkurate skets maak. Hierdie probleem het twee stappe: Pas eers Pythagoras toe, en gebruik dan die oppervlakte-formule.
• By die berekening van die oppervlakte van ‘n vierhoek gebruik ons dieselfde beginsel: As ons na ‘n hoogte verwys, is daar altyd ‘n spesifieke basis ter sprake.
• Ons kan by die formule vir die oppervlakte van ‘n driehoek begin en daarvandaan formules vir die ses vierhoeke aflei.

  

• ‘n Vierkant bestaan uit twee identiese driehoeke, soos in die skets. Die sylengte van die vierkant is s . Dan is die oppervlakte ( A ) van die vierkant:

A = 2 × oppervlakte van 1 driehoek = 2 (½ × basis × hoogte) = 2 × ½ × s × s = s ² = sy kwadraat.

Jy weet dit sekerlik alreeds!

• Dieselfde metode werk vir die reghoek: Die reghoek is b breed en l lank, en sy oppervlakte ( A ) is:

A = eerste driehoek + tweede driehoek

= (½ × basis × hoogte) + (½ × basis × hoogte)

= (½ × b × $\ell$ ) + (½ × $\ell$ × b ) = ½ b $\ell$ + ½ b $\ell$ = b $\ell$

= breedte maal lengte.

Dus: nog ‘n bekende formule.

• Die parallelogram is ‘n bietjie moeiliker, maar die skets sal help om dit duidelik te maak. Verdeel ons dit in twee driehoeke, dan kan ons dié twee dieselfde basis gee (die lang sy van die parallelogram in elke geval). Ons noem ook hierdie lyn die basis van die parallelogram, en ons gebruik die letter b . Die hoogtelyne ( h ) van die twee driehoeke is ewe lank. (Onthou dat ‘n hoogtelyn altyd loodreg op ‘n basis moet wees.)
• Is jy oortuig dat die twee hoogtes dieselfde is? Meet hulle! En wat van die twee basisse? Die oppervlakte is: A = driehoek + driehoek = ½ bh + ½ bh = bh = basis maal hoogte.
• ‘n Uitdaging: Doen dieselfde in die geval van die ruit. (Antwoord: A = bh , soos die parallelogram).

• 

• Kom ons pak die trapesium aan. Aangesien die twee ewewydige sye nie ewe lank is nie, verskil dit van ‘n parallelogram.
• Ons noem hulle P s 1 en P s 2 . Die twee hoogtelyne, egter, is ewe lank.
• Die hoeklyn verdeel dit in twee driehoeke, en uit hulle skryf ons nou ‘n formule neer vir die oppervlakte van ‘n trapesium:

A = driehoek ₁ + driehoek ₂ = ½ × P s ₁ × h + ½ × P s ₂ × h