4.1 Meer produkte

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Inleiding

In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om met algebraïese uitdrukkings te werk. Hersiening van vorige faktorisering en vermenigvuldiging van uitdrukkings sal dus nodig wees voordat die nuwe leerstof uitgebrei word vir Graad 10.

Hersiening van vorige werk

Die volgende behoort bekend te wees, maar ons gee 'n paar voorbeelde ter herinnering.

Dele van uitdrukkings

Wiskundige uitdrukkings is soos sinne en elke deel het 'n spesifieke naam. Jy behoort vertroud te wees met die volgende name wat die dele van wiskundige uitdrukkings beskryf.

\begin{matrix} a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m} = 0 \\ d \cdot y^{p} + e \cdot y + f \leq 0 \end{matrix}

Naam	Voorbeelde (geskei deur kommas)
term	$a \cdot x^{k}$ , $b \cdot x$ , $c^{m}$ , $d \cdot y^{p}$ , $e \cdot y$ , $f$
uitdrukking	$a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m}$ , $d \cdot y^{p} + e \cdot y + f$
koëffisiënte	$a$ , $b$ , $d$ , $e$
eksponent (of indeks)	$k$ , $p$
grondtal	$x$ , $y$ , $c$
konstante	$a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$
veranderlike	$x$ , $y$
vergelyking	$a \cdot x^{k} + b \cdot x + c^{m} = 0$
ongelykheid	$d \cdot y^{p} + e \cdot y + f \leq 0$
binomiaal	uitdrukking met twee terme
trinomiaal	uitdrukking met drie terme

Produk van twee binomiale

'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme, soos $(a x + b)$ en $(c x + d)$ . As hierdie twee binomiale vermenigvuldig word, is die volgende die resultaat:

\begin{matrix} (a \cdot x + b) (c \cdot x + d) & = & (a x) (c \cdot x + d) + b (c \cdot x + d) \\ = & (a x) (c x) + (a x) d + b (c x) + b \cdot d \\ = & a x^{2} + x (a d + b c) + b d \end{matrix}

Vind die produk van $(3 x - 2) (5 x + 8)$ .

Vermenigvuldig uit en vereenvoudig
$\begin{matrix} (3 x - 2) (5 x + 8) & = & (3 x) (5 x) + (3 x) (8) + (- 2) (5 x) + (- 2) (8) \\ = & 15 x^{2} + 24 x - 10 x - 16 \\ = & 15 x^{2} + 14 x - 16 \end{matrix}$
.

Die produk van twee identiese binomiale, is bekend as die kwadraat (of vierkant) van binomiale en word geskryf as:

{(a x + b)}^{2} = a^{2} x^{2} + 2 a b x + b^{2}

Gestel die twee terme is $a x + b$ en $a x - b$ , dan is hulle produk:

(a x + b) (a x - b) = a^{2} x^{2} - b^{2}

Dit staan bekend as die verskil van twee kwadrate (of vierkante) .

Faktorisering

Faktorisering is die omgekeerde proses van die uitbreiding van hakies. Byvoorbeeld, as hakies uitgebrei word, word $2 (x + 1)$ geskryf as $2 x + 2$ . Faktorisering sal dus begin met $2 x + 2$ en eindig met $2 (x + 1)$ . In vorige grade het ons gefaktoriseer deur die uithaal van gemeenskaplike faktore en die verskil tussen twee vierkante.

Gemeenskaplike faktore

Faktorisering deur die uithaal van gemeenskaplike faktore, is gebaseer daarop dat daar faktore is wat in al die terme voorkom. Byvoorbeeld, $2 x - 6 x^{2}$ kan as volg gefaktoriseer word:

2 x - 6 x^{2} = 2 x (1 - 3 x)

Ondersoek: gemeenskaplike faktore

Vind die grootste gemene faktore van die volgende pare terme:

(a) $6 y; 18 x$	(b) $12 m n; 8 n$	(c) $3 s t; 4 s u$	(d) $18 k l; 9 k p$	(e) $a b c; a c$
(f) $2 x y; 4 x y z$	(g) $3 u v; 6 u$	(h) $9 x y; 15 x z$	(i) $24 x y z; 16 y z$	(j) $3 m; 45 n$

Verskil van twee kwadrate

Ons het gesien dat:

(a x + b) (a x - b) = a^{2} x^{2} - b^{2}

In [link] dui die = teken aan dat die twee kante altyd gelyk sal wees. Dit beteken dat 'n uitdrukking in die vorm:

a^{2} x^{2} - b^{2}

gefaktoriseer kan word as:

(a x + b) (a x - b)

Dus,

a^{2} x^{2} - b^{2} = (a x + b) (a x - b)

Byvoorbeeld, $x^{2} - 16$ kan geskryf word as $(x^{2} - 4^{2})$ wat die verskil is tussen twee kwadrate. Dus, die faktore van $x^{2} - 16$ is $(x - 4)$ en $(x + 4)$ .

Faktoriseer volledig: $b^{2} y^{5} - 3 a b y^{3}$

Vind die gemene faktore:
$\begin{matrix} b^{2} y^{5} - 3 a b y^{3} & = & b y^{3} (b y^{2} - 3 a) \end{matrix}$

Faktoriseer volledig: $3 a (a - 4) - 7 (a - 4)$

Vind die gemene faktore
$(a - 4)$ is die gemene faktor
$\begin{matrix} 3 a (a - 4) - 7 (a - 4) & = & (a - 4) (3 a - 7) \end{matrix}$

Faktoriseer $5 (a - 2) - b (2 - a)$

Let daarop dat $(2 - a) = - (a - 2)$
$\begin{matrix} 5 (a - 2) - b (2 - a) & = & 5 (a - 2) - [- b (a - 2)] \\ = & 5 (a - 2) + b (a - 2) \\ = & (a - 2) (5 + b) \end{matrix}$

Hersien

Vind die produkte / Verwyder die hakies:

(a) $2 y (y + 4)$	(b) $(y + 5) (y + 2)$	(c) $(y + 2) (2 y + 1)$
(d) $(y + 8) (y + 4)$	(e) $(2 y + 9) (3 y + 1)$	(f) $(3 y - 2) (y + 6)$

Faktoriseer:
1. $2 l + 2 w$
2. $12 x + 32 y$
3. $6 x^{2} + 2 x + 10 x^{3}$
4. $2 x y^{2} + x y^{2} z + 3 x y$
5. $- 2 a b^{2} - 4 a^{2} b$

Faktoriseer volledig:

(a) $7 a + 4$	(b) $20 a - 10$	(c) $18 a b - 3 b c$
(d) $12 k j + 18 k q$	(e) $16 k^{2} - 4 k$	(f) $3 a^{2} + 6 a - 18$
(g) $- 6 a - 24$	(h) $- 2 a b - 8 a$	(i) $24 k j - 16 k^{2} j$
(j) $- a^{2} b - b^{2} a$	(k) $12 k^{2} j + 24 k^{2} j^{2}$	(l) $72 b^{2} q - 18 b^{3} q^{2}$
(m) $4 (y - 3) + k (3 - y)$	(n) $a (a - 1) - 5 (a - 1)$	(o) $b m (b + 4) - 6 m (b + 4)$
(p) $a^{2} (a + 7) + a (a + 7)$	(q) $3 b (b - 4) - 7 (4 - b)$	(r) $a^{2} b^{2} c^{2} - 1$

Meer produkte

Khan akademie video oor die produk van polinoomuitdrukkings

Ons het gesien hoe om twee binomiale te vermenigvuldig in die afdeling "Produk van twee Binomiale" . In hierdie gedeelte, gaan ons leer hoe om 'n binomiaal (uitdrukking met twee terme) met 'n trinomiaal of drieterm (uitdrukking met drie terme) te vermenigvuldig. Gelukkig gebruik ons dieselfde metode as om twee binomiaaluitdrukkings te vermenigvuldiging.

Byvoorbeeld, vermenigvuldig $2 x + 1$ met $x^{2} + 2 x + 1$

\begin{matrix} (2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) \\ = & 2 x (x^{2} + 2 x + 1) + 1 (x^{2} + 2 x + 1) & (pas distributiewe eienskap toe) \\ = & [2 x (x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x (1)] + [1 (x^{2}) + 1 (2 x) + 1 (1)] \\ = & 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + x^{2} + 2 x + 1 & (brei die hakies uit) \\ = & 2 x^{3} + (4 x^{2} + x^{2}) + (2 x + 2 x) + 1 & (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) \\ = & 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 1 & (vereenvoudig om 'n finale antwoord te gee) \end{matrix}

Vermenigvuldiging van binomiaal met trinomiaal

In die vermenigvuldiging van die binomiaal $A + B$ met die trinomiaal $C + D + E$ , is die heel eerste stap om die distributiewe wet toe te pas:

(A + B) (C + D + E) = A (C + D + E) + B (C + D + E)

As jy dit onthou, sal jy nie 'n fout maak nie!

Vermenigvuldig $x - 1$ met $x^{2} - 2 x + 1$

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, $x - 1$ , en 'n trinomiaal, $x^{2} - 2 x + 1$ . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.
Bepaal hoe om die probleem aan te pak.
Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig daarna.
Los die probleem op
$\begin{matrix} (x - 1) (x^{2} - 2 x + 1) \\ = & x (x^{2} - 2 x + 1) - 1 (x^{2} - 2 x + 1) & (pas die distributiewe wet toe) \\ = & [x (x^{2}) + x (- 2 x) + x (1)] + [- 1 (x^{2}) - 1 (- 2 x) - 1 (1)] \\ = & x^{3} - 2 x^{2} + x - x^{2} + 2 x - 1 & (brei die hakies uit) \\ = & x^{3} + (- 2 x^{2} - x^{2}) + (x + 2 x) - 1 & (groepeer soorgelyke terme saam om te vereenvoudig) \\ = & x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 & (vereenvoudig om die finale antwoord te kry) \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die produk van $x - 1$ en $x^{2} - 2 x + 1$ is $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .

Vind die produk van $x + y$ en $x^{2} - x y + y^{2}$ .

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
Twee uitdrukkings word gegee: 'n binomiaal, $x + y$ , en 'n trinomiaal, $x^{2} - x y + y^{2}$ . Ons moet hulle met mekaar vermenigvuldig.
Bepaal hoe om die probleem aan te pak
Pas die distributiewe wet toe en vereenvoudig dan verder.
Los die probleem op
$\begin{matrix} (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) \\ = & x (x^{2} - x y + y^{2}) + y (x^{2} - x y + y^{2}) & (pas die distributiewe wet toe) \\ = & [x (x^{2}) + x (- x y) + x (y^{2})] + [y (x^{2}) + y (- x y) + y (y^{2})] \\ = & x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - x y^{2} + y^{3} & (brei die hakies uit) \\ = & x^{3} + (- x^{2} y + y x^{2}) + (x y^{2} - x y^{2}) + y^{3} & (groepeer soortgelyke terme om te vereenvoudig) \\ = & x^{3} + y^{3} & (vereenvoudig om die finale antwoord te kry) \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die produk van $x + y$ en $x^{2} - x y + y^{2}$ is $x^{3} + y^{3}$ .

Ons het gesien dat:

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{3} + y^{3}

Dit staan bekend as die som van derdemagte .

Ondersoek: verskil van derdemagte

Toon aan dat die verskil van derdemagte ( $x^{3} - y^{3}$ ) gegee word deur die produk van $x - y$ en $x^{2} + x y + y^{2}$ .

Produkte

Vind die produk van:

(a) $(- 2 y^{2} - 4 y + 11) (5 y - 12)$	(b) $(- 11 y + 3) (- 10 y^{2} - 7 y - 9)$
(c) $(4 y^{2} + 12 y + 10) (- 9 y^{2} + 8 y + 2)$	(d) $(7 y^{2} - 6 y - 8) (- 2 y + 2)$
(e) $(10 y^{5} + 3) (- 2 y^{2} - 11 y + 2)$	(f) $(- 12 y - 3) (12 y^{2} - 11 y + 3)$
(g) $(- 10) (2 y^{2} + 8 y + 3)$	(h) $(2 y^{6} + 3 y^{5}) (- 5 y - 12)$
(i) $(6 y^{7} - 8 y^{2} + 7) (- 4 y - 3) (- 6 y^{2} - 7 y - 11)$	(j) $(- 9 y^{2} + 11 y + 2) (8 y^{2} + 6 y - 7)$
(k) $(8 y^{5} + 3 y^{4} + 2 y^{3}) (5 y + 10) (12 y^{2} + 6 y + 6)$	(l) $(- 7 y + 11) (- 12 y + 3)$
(m) $(4 y^{3} + 5 y^{2} - 12 y) (- 12 y - 2) (7 y^{2} - 9 y + 12)$	(n) $(7 y + 3) (7 y^{2} + 3 y + 10)$
(o) $(9) (8 y^{2} - 2 y + 3)$	(p) $(- 12 y + 12) (4 y^{2} - 11 y + 11)$
(q) $(- 6 y^{4} + 11 y^{2} + 3 y) (10 y + 4) (4 y - 4)$	(r) $(- 3 y^{6} - 6 y^{3}) (11 y - 6) (10 y - 10)$
(s) $(- 11 y^{5} + 11 y^{4} + 11) (9 y^{3} - 7 y^{2} - 4 y + 6)$	(t) $(- 3 y + 8) (- 4 y^{3} + 8 y^{2} - 2 y + 12)$

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask

	Gastrointestinal Pathophysiology 2006 By Tamsin Knox Start Exam
	9 Biology 09 Cell Communication MCQ By OpenStax Start Quiz
	11 AP 11 Muscular System Essay By OpenStax Start Flashcards
	5 AP 05 Integumentary System Essay By OpenStax Start Flashcards
	1 Microbiology Final 1 By Madison Christian Start Quiz
	4 Physiotherapy Flashcards Set 4 By Rhodes Start Flashcards
	9 BOD- Liver Quiz .... By Brooke Delaney Start Quiz
	3 BOD GI quiz By Brooke Delaney Start Exam
	Computer Skills Literacy MCQ By LaToya Trowers Start Quiz
	7 AP Key Terms 07 Axial Skeleton By OpenStax Start Key Terms