4.1 Тотален диференцијал

Тотален диференцијал

Нека е дадена функцијата $z=f(x,y)$ и нека $\mathrm{\Delta x}$ и $\mathrm{\Delta y}$ се соодветните нараснувања на променли­вите $x$ и $y\text{.}$

Дефиниција

Производот $\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta x}=d_{x}f$ се нарекува парцијален диференцијал на функцијата $f$ по променливата $x$ , а производот $\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta y}=d_{y}f$ се нареку­ва парцијален диференцијал на функцијата $f$ по променливата $y$ .

Бидејќи $\mathrm{\Delta x}=\text{dx}$ и $\mathrm{\Delta y}=\text{dy}$ , парцијалните диференцијали се запишуваат како

$d_{x}f=\frac{\partial f}{\partial x}\text{dx}$ и $d_{y}f=\frac{\partial f}{\partial y}\text{dy}$ .

Дефиниција

Сумата на парцијалните диференцијали

$\text{df}=d_{x}f+d_{y}f$

или

$\text{df}=\frac{\partial f}{\partial x}\text{dx}+\frac{\partial f}{\partial y}\text{dy}$

се нарекува тотален диференцијал на функцијата $z=f(x,y)$ .

Пример 2

Да се определат парцијалните диференцијали и тоталниот диференцијал на функцијата $z=\text{arcsin}\frac{x}{y}$ .

Решение

Најпрво ги пресметуваме парцијалните изводи:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}}\cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}$ ,

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}}\cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)=\frac{-x}{y\sqrt{y^2-x^2}}$ .

Парцијалните диференцијали се:

$d_{x}f=\frac{1}{\sqrt{y^2-x^2}}\text{dx}$

и

$d_{y}f=\frac{-x}{y\sqrt{y^2-x^2}}\text{dy}$ ,

а тоталниот диференцијал е

$\text{df}=\frac{y\text{dx}-x\text{dy}}{y\sqrt{y^2-x^2}}$ . ◄

Дефиниција

Разликата $\mathrm{\Delta f}=f(x+\mathrm{\Delta x},y+\mathrm{\Delta y})-f(x,y)$ се нарекува тотално или вистинско нараснување на функцијата $f$ во точката $A(x,y)\text{.}$

За мали промени на вредностите на аргументите на функцијата $z=f(x,y)$ , односно кога $\mathrm{\Delta x}\approx 0$ и $\mathrm{\Delta y}\approx 0$ , вистинското нараснување на функцијата може приближно да се пресмета преку диференцијалот, односно $\mathrm{\Delta f}\approx \text{df}$ . Бидејќи

$\mathrm{\Delta f}=f(x+\mathrm{\Delta x},y+\mathrm{\Delta y})-f(x,y)$ ,

тогаш

$f(x+\mathrm{\Delta x},y+\mathrm{\Delta y})\approx f(x,y)+\text{df}$ .

Оваа релација овозможува приближно пресметување на вредноста на функцијата во близина на дадена точка, во која вредноста на функцијата лесно може да се пресмета.

Пример 3

Со помош на тотален диференцијал приближно да се пресмета

$\text{ln}\left(\sqrt[3]{\mathrm{1,}\text{03}}+\sqrt[4]{\mathrm{0,}\text{98}}-1\right)$ .

Решение

Според обликот на дадениот израз чија вредност треба да се пресмета, определуваме функција од две променливи

$z=\text{ln}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1\right)$ .

Во оваа функција вредноста 1,03 која е блиска до 1, се доделува на првата независна променлива која се запишува како $x+\mathrm{\Delta x}=\mathrm{1,}\text{03}$ при што $x=\mathrm{1,}$ а нараснувањето е $\mathrm{\Delta x}=\mathrm{0,}\text{03}\approx 0$ . Исто така, втората вредност 0,98 се доделува на втората независна променлива и таа се запишува како $y+\mathrm{\Delta y}=\mathrm{0,}\text{98}$ и оваа вредност е во околина на точката на $y=1$ , а нарасну­вањето е $\mathrm{\Delta y}=-\mathrm{0,}\text{02}\approx 0\text{.}$

Применувајќи ја формулата за приближно пресметување со тотален диференцијал, се добива

$\text{ln}\left(\sqrt[3]{\mathrm{1,}\text{03}}+\sqrt[4]{\mathrm{0,}\text{98}}-1\right)\approx \text{ln}\left(\sqrt[3]{1^3}+\sqrt[4]{1}-1\right)+\text{dz}{\mid }_{x=\mathrm{1,}y=1}$ .

Вредноста на функцијата $f(x,y)$ во точката (1,1) е

$f(x,y){\mid }_{x=\mathrm{1,}y=1}=\text{ln}\left(\sqrt[3]{1}+\sqrt[4]{1}-1\right)=\text{ln}1=0$ ,

додека за пресметување на вредноста на тоталниот диференцијал треба да се пресметаат парцијалните изводи. Парцијалните изводи на функцијата се:

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{y}-1}\cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ ,

и нивните вредности во точката $(\mathrm{1,1})$ се

$\frac{\partial z}{\partial x}{\mid }_{x=\mathrm{1,}y=1}=\frac{1}{\sqrt[3]{1}+\sqrt[4]{1}-1}\cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{1}{3}$ ,

$\frac{\partial z}{\partial y}{\mid }_{x=\mathrm{1,}y=1}=\frac{1}{\sqrt[3]{1}+\sqrt[4]{1}-1}\cdot \frac{1}{4\sqrt[4]{1^3}}=\frac{1}{4}$ .

Тоталниот дифренцијал ќе има вредност

$\text{dz}=\frac{1}{3}\mathrm{\Delta x}+\frac{1}{4}\mathrm{\Delta y}=\frac{\mathrm{0,}\text{03}}{3}+\frac{-\mathrm{0,}\text{02}}{4}=\mathrm{0,}\text{01}-\mathrm{0,}\text{005}=\mathrm{0,}\text{005}$ ,

и заменувајќи ги пресметаните вредности во изразот

се добива дека

$\text{ln}\left(\sqrt[3]{\mathrm{1,}\text{03}}+\sqrt[4]{\mathrm{0,}\text{98}}-1\right)\approx \mathrm{0,}\text{005}$ . ◄