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4.1 Convolución discreta

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Convolución es un concepto que se extiende a todos los sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo (LTI). Se convertira aparente en esta discucion que esta condicion es necesaria para demostrar como la linearidad y el tiempo invariante son necesarias para la convolución.

Ideas generales

Convolución es un valor que se extiende a todos los sistemas que son invariantes linear del tiempo ( LTI - Linear Time Invariant). La idea de convolución discreta es la misma que la de convolución continua . Por esta razón, puede ser de gran ayuda el ver las dos versiones para que usted entienda la extrema importancia del concepto. Recuerde que la convolución es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. Puede ser tambiénútil al ver la convolución gráficamente con sus propios ojos y jugar con este concepto un poco, asíque experimente con las aplicaciones que están disponibles en la Internet. Estos recursos ofrecerán métodos diferentes para aprender este concepto crucial.

Suma de convoluciÓN

Como ya ha sido mencionado, la suma de convolución provee una manera matemáticamante concisa para expresar el resultado de un sistema LTI, basado en una entrada arbitraria para una señal discreta y también el saber la respuesta del sistema. La suma de convolución es expresada como

y n k ∞ ∞ x k h n k
Asícomo en tiempo continuo la convolución es representado por el símbolo *, y puede ser escrita como
y n x n h n
Al hacer un simple cambio de variables en la suma de convolución, k n k , podemos demostrar fácilmente que la convolución es conmutativa :
x n h n h n x n
Para mas información sobre las características de convolución, lea las propiedades de convolución .

DerivaciÓN

Sabemos que las señales discretas pueden ser representadas por la suma de impulses discretos que están desplazados y escalados. Ya que estamos asumiendo que el sistema es linear e invariante con el tiempo, se ve razonable decir que la entrada de la señal esta formada por impulses que también están escalados y desplazados, esto en turno daría como resultado del sistema una suma de respuesta de impulse que también están escaladas y desplazadas. Esto es exactamente lo que ocurre en convolución . Abajo presentamos una manera matemática rigurosa de ver esta derivación:

Al dejar ℋ ser un sistema DT LTI, empezaremos con la siguiente ecuación y trabajaremos hasta llegar a la suma de convolucion !

y n ℋ x n ℋ k ∞ ∞ x k δ n k k ∞ ∞ ℋ x k δ n k k ∞ ∞ x k ℋ δ n k k ∞ ∞ x k h n k
Demos un vistazo rápido a los pasos tomados en la derivación anterior. Después de nuestra ecuación inicial, nosotros usamos la propiedad de desplazamiento del DT para re-escribir la función, x n , como una suma de funciones multiplicada por una suma unitaria. Después, movemos el operador ℋ y la sumatoria ℋ ˙ es linear, en el sistema DT. Por esta linealidad y por el hecho que, x k es constante podemos extraer la constantes ya mencionadas y nada mas multiplicar la ecuación por ℋ ˙ . Final mente , usamos el dato que ℋ ˙ es invariante con el tiempo para llegar a nuestra ecuación deseada- la suma de convolucion !

Un ejemplo grafico puede ayudar en demostrar por que la convolución funciona

Una simple entrada con impulso da como resultado la respuesta de impulso del sistema.
Un impulso escalado como entrada da como resultado una respuesta escalada, ya que tiene la propiedad de escalmiento para un sistema lineal.
Ahora usaremos la propiedad de tiempo invariante del sistema para demostrar que una entrada que esta dasplazada da como resultado una salida con la misma forma, solo que esta desplazada por la misma cantidad que la entrada.
Ahora usaremos la propiedad de adicion del sistema lineal para completar la figura.ya que cualquier señal discreta es nada mas la suma de impulsos discretos que estan desplazados y escalados, podemos encontrar la salida con tan solo saber la señal de entrada y su respuesta al impulso.

Convolucion a travÉS del eje del tiempo ( un mÉTodo grafico)

En esta sección desarrollaremos una interpretación grafica de la convolución discreta. Empezaremos por escribir la suma de convolución dejando x ser causal, de tamaño - m y h ser causal, del tamaño- k , en un sistema LTI. Esto nos da una sumatoria finita,

y n l 0 m 1 x l h n l
Note que para cualquier n tenemos la suma de productos de x l desplazados en el tiempo por h − l . Esto es una manera de decir que multiplicamos los términos de x por los términos reflexionados en el tiempo de h y los sumamos después.

Regresamos a los ejemplos anteriores:

Esto es lo que esperamos encontrar.
Esto es el reflejo de la respuesta del impulso, h , y se empieza a mover atravez del tiempo 0 .
Continuamos con el moviimiento. Vea que al tiempo 1 , estamos multiplicando dos elementos de la señalde entraday dos elementos de la respuesta del impulso.
Si seguimos esto un paso mas, n 4 , pordiamos ver que producimos la misma salida que vimos en el ejemplo inicial.

Los que estamos haciendo en la demostración de arriba es reflejar la respuesta del impulso en el tiempo y“hacerlo caminar a través”de la entrada en la señal. Claramente, esto da el mismo resultado que escalar, desplazar, y sumar respuestas de impulsos.

Este método de reflexión en el tiempo, y de mover a través de la señal es una manera común de presentar la convolución, ya que demuestra como la convolución construye el resultado a través del eje del tiempo.
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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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