3.4 Извод од параметарска функција

Извод од параметарска функција

Нека со параметарските равенки

е зададена функцијата $y=f(x)\text{.}$ Директната зависност на функцијата од аргументот не е очигледна, а се поставува задача да се пресмета изводот на функцијата $y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ по аргументот $x$ . За да се пресмета изводот не мора по секоја цел функцијата да се доведе во аналитички израз во кој ќе се елиминира параметарот $t$ , туку се користат параметарските равенки со кои е дефинирана функцијата.

Ако функциите $\varphi (t),\psi (t)$ се диференцијабилни во некоја област по параметарот $t$ , тогаш

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=\frac{\mathrm{d\varphi }}{\text{dt}}={\varphi }^{\text{'}}(t)$ и $\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=\frac{\mathrm{d\psi }}{\text{dt}}={\psi }^{\text{'}}(t)\text{.}$ Овие изводи по параметарот $t$ накусо се означуваат и со ознаките

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=x_t^{\text{'}}=\dot{x}$ и $\frac{\text{dy}}{\text{dt}}=y_t^{\text{'}}=\dot{y}$ .

Нараснувањата на функцијата и аргументот се

$\mathrm{\Delta x}=\varphi (t+\mathrm{\Delta t})-\varphi (t)$ и $\mathrm{\Delta y}=\psi (t+\mathrm{\Delta t})-\varphi (t),$

а нивниот количник е

Граничната вредност на овој количник е изводот

што заначи дека изводот на параметарската функција е

каде $\dot{x}={\varphi }_t^{\text{'}}$ и $\dot{y}={\psi }_t^{\text{'}}$ се изводите по параметарот $t$ .

Се забележува дека и изводот на функција задена со параметарски равенки е функција по параметарот $t$ .

Пример 9.

Да се покаже дека функцијата зададена со параметарските равенки $x=\frac{1+\text{ln}t}{t^2},y=\frac{3+2\text{ln}t}{t}$ ја задоволува равенката $y{y}^{\text{'}}=2{\text{xy}}^{\text{'}2}+1$ , каде $y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ .

За да се покаже дека параметарската функција ја задоволува дадената равенка во која се јавува и извод, треба да се пресмета изводот и да се замени во равенката. Најпрво се пресметуваат изводите по параметарот:

Изводот се пресметува како количник на изводите по параметарот

и ако во зададената равенка

се замени за $x=\frac{1+\text{ln}t}{t^2},y=\frac{3+2\text{ln}t}{t},y^{\text{'}}=t$ се добива

$$ $\frac{3+2\text{ln}t}{t}t=2\frac{1+\text{ln}t}{t^2}{t}^2+1$ ,

или после средување

а добиениот идентитет значи дека равенството е задоволено.