3.3 Грнична вредност и непрекинатост на функција од две променливи

За функција од две променливи ќе дефинираме гранична вредност.

Дефиниција. Функцијата $f(x,y)=f(X)$ има гранична вредност (граница) $L$ во точката $A=(a,b)\in D_f\subset R^2$ ако за секој произволен број $\epsilon >0$ постои број $\delta =\delta (\epsilon )>0$ така што од $X\in K(A,\delta )$ следува дека $f(A)\in K(L,\epsilon )$ и се означува

$\underset{X\to A}{\text{lim}}f(X)=L$

при што $X\to A$ означува дека $x\to a,y\to b$ .

Значи бројот $L$ е гранична вредност на функцијата $f(x,y)=f(X)$ во точката $A=(a,b)$ ако функцијата $f(X)\to L$ кога $X\to A$ . Приближувањето на точката $X$ кон точката $A$ е произволно, што значи дека точката $X$ може да се проближува по било која крива (патека) кон точката $A$ .

Пример 1 . Да се најде граничната вредност на функцијата $f(x,y)=\frac{\text{xy}}{x^2+y^2}$ во произволна точка $A=(a,b)$ .

Решение . Ако , тогаш $\underset{x\to a,y\to b}{\text{lim}}f(x,y)=\frac{\text{ab}}{a^2+b^2}$ .

Слика 1. Приближување кон координат­ниот почеток по права

Ако $(a,b)=(\mathrm{0,0})$ , тогаш $(x,y)\to (\mathrm{0,0})$ и прибли­­жувањето на точката $(x,y)$ кон коорди­натниот почеток може да се одвива на бесконечно многу начини. Ако тоа приближување е на пример по правата $y=\text{kx},(k\in R)$ (Сл.1), тогаш

$\underset{x\to \mathrm{0,}y\to \text{kx}}{\text{lim}}f(x,y)=\underset{x\to \mathrm{0,}y\to \text{kx}}{\text{lim}}\frac{\text{xy}}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2}$ ,

што значи дека ганичната вредност зависи од коефициентот на правецот $k$ од правата по која точката $(x,y)$ се приближува кон коорди­на­тниот почеток и означува дека единствена гранична вредност не постои. ◄

Аналогно на дефиницијта за непрекинатост на функција од една променлива, се дефинира непрекинатост на функција од две променливи.

Дефиниција . Функцијата $f(x,y)$ дефинирана во околина на точката $A$ е непрекината во таа точка ако

$\underset{X\to A}{\text{lim}}f(X)=f(A)$ .

Непрекинатоста на функција во точка означува дека постои гранична вредност во таа точка и таа е еднаква со вредноста на функцијата во истата точка.

За функцијата $f$ се вели дека е непрекината во множеството $D$ ако таа е непрекината во секоја точка од тоа множество.

Ќе наведеме некои основни својства на непрекинатите функции дефинирани во затворено и ограничено множество $D$ :

• Сума и производ на напрекинати функции е непрекината функција. Количник од непрекинати функции е непрекината функција во сите точки во кои именителот е различен од нула.

• Секоја функција $f$ непрекината во дадено множество $D$ е ограничена во тоа множество.

• Во множеството $D$ постои најмалку една точка во која непрекинатата функција $f$ има најголема вредност и најмалку една точка од множеството $D$ во која функцијата има најмала вредност.

• Ако во две произволни точки $A_1,A_2\in D$ за кои $a=f(A_1)$ , $b=f(A_2)$ и ако , тогаш функцијата $f$ ги прима сите вредности од интервалот $[a,b]$ .