3.2 Извод од сложена, имплицитна и инверзна функција

Извод од сложена, инверзна и имплицитна функција

Извод од сложена функција

Нека со функциите $y=f(u),(u\in D)$ и $u=g(x),(u\in f(D))$ се дефинира сложената функција

Теорема

Ако $g(x)$ е диференцијабилна функција во точката $x$ , а $f(u)$ диференцијабилна функција во точката $u=g(x),$ тогаш е диференцијабилна и сложената функција $y=f(g(x))$ и $y^{\text{'}}=f_g^{\text{'}}\cdot g_x^{\text{'}}$ .

Доказ.

Нараснувањата на функциите се

$\mathrm{\Delta y}=f(u+\mathrm{\Delta u})-f(u),\mathrm{\Delta u}=g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)$ .

Се формира количникот

$\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta u}}\frac{\mathrm{\Delta u}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{f(u+\mathrm{\Delta u})-f(u)}{\mathrm{\Delta u}}\frac{g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)}{\mathrm{\Delta x}}$ ,

а изводот ќе се пресмета преку дефиниција

Оттука следи дека сложената функција $y=f(u)=f(g(x))$ ќе има извод кој се пресметува со

или накратко

$y^{\text{'}}=f_g^{\text{'}}\cdot g_x^{\text{'}}$ .

Извод од инверзна функција

Теорема

Ако $y=f(x)$ е диференцијабилна функција во точката $x$ и ако , тогаш е диференцијабилна и нејзината инверзна функција $x=f^{-1}(y)$ и $\frac{\text{dx}}{\text{dy}}=\frac{1}{\frac{\text{dy}}{\text{dx}}}\text{.}$

Доказ.

За да се пресмета изводот од инверзна функција се поаѓа од релацијата

$\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}\cdot \frac{\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta y}}=1$ ,

каде

$\mathrm{\Delta y}=f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x),$

$\mathrm{\Delta x}=f^{-1}(y+\mathrm{\Delta y})-f^{-1}(y),$

па горната релација е

$\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)}{\mathrm{\Delta x}}\cdot \frac{f^{-1}(y+\mathrm{\Delta y})-f(y)}{\mathrm{\Delta y}}=1$ .

Барајќи гранична вредност, ако , се добива

$\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)}{\mathrm{\Delta x}}\underset{\mathrm{\Delta y}\to 0}{\text{lim}}\frac{f^{-1}(y+\mathrm{\Delta y})-f^{-1}(y)}{\mathrm{\Delta y}}=1$

или

кое накратко се означува со

или

Извод од имплицитна функција

Нека функцијата $y(x)$ е зададена со имплицитната равенка $F(x,y)=0$ односно $F(x,y(x))=0\text{.}$ Ако $(a,b)$ е интервал во кој $\forall x\in (a,b)$ функцијата $y(x)$ е дефинирана и диференцијабилна, функцијата $F(x,y(x))=0$ е сложена која зависи непосредно од аргументот $x$ и посредно од функцијата $y$ . Применувајки го правилото за диференцирање на сложена функција се добива

${\left[F(x,y(x))\right]}^{\prime }=\Phi (x,y,y^{\text{'}})=0$ ,

каде $\Phi$ е некоја линеарна функција по $y^{\text{'}}$ и таа може да се реши по $y^{\text{'}}$ .