3.11 Примена на изводите во испитување и скицирање график на  (Page 2/3)

7. ИСПИТУВАЊЕ СО ВТОР ИЗВОД . Вториот извод $f^{\text{'}\text{'}}(x)$ се пресметува и тој се користи за утврдување која стационарна точка е ектрем и каков е екстремот. Ако за стационарната точка $x_0$ важи $f^{\text{'}\text{'}}(x_0)>0$ , во неа се постигнува минимум, а ако , во неа се постигнува максимум. Ако $f^{\text{'}\text{'}}(x_0)=0$ , преку интервалите на монотоност утврдуваме каква е стационарната точка. Со вториот извод преку решавање на равенката $f^{\text{'}\text{'}}(x)=0$ се определуваат превојните точки, тоа се точки во кои функцијата си ја менува закривеноста. Со превојните точки се определуваат интервалите на конкавност и конвексност на функцијата. На интервал на кој $f^{\text{'}\text{'}}>0$ функцијата е конвексна (вдлабната $$ ), а ако функцијата е конкавна (испакната $$ ).

8. ГРАФИК. По проследување на сите овие чекори во испитувањето на функција, може да се скицира нејзиниот график. Доколку сите испитувања се коректно спроведени и точно пресметани, сите елементи од испитувањето се вклопуваат во графикот на функцијата.

Дел од наведените чекори во испитувањето на функцијата не мора да се спроведат по наведениот редослед, битно е само сите да се извршат за да се добијат информации за функцијата врз база на кои таа ќе може да се скицира.

Пример 1.

Да се испита и графички претстави функцијата $y=\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{\mathrm{3x}}$ .

Решение.

1. Бидејќи функцијата е дробно рационална, потребно е именителот да биде различен од нула, т.е. и затоа

$D_f=(-\infty ,0)\cup (\mathrm{0,}+\infty )$ .

2. Графикот не ја сече $x-$ оскaта затоа што функцијата за ниедна вредност на $x$ не е нула, т.е. . Исто така графикот не ја сече $y-$ оската бидејќи $x=0\notin D_f$ .

3. Проверуваме парност/непарност на функцијата. Се забележува дека функцијата е количник на парна и непарна функција, затоа таа е непарна. Навистина, $y(-x)=\frac{3(-x{)}^2+1}{3(-x)}=\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{-\mathrm{3x}}=-\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{\mathrm{3x}}=-y(x)\Rightarrow$ функцијата е непарна.

4. Функцијата не е периодична.

5. Асимптоти:

$x=0$ e вертикална асимптота;

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{\mathrm{3x}}=\infty \Rightarrow$ функцијата нема хоризонтална асимптота;

$k=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{\mathrm{3x}}}{x}=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{{\mathrm{3x}}^2}=1$ ,

$n=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}(f(x)-\text{kx})=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(\frac{{\mathrm{3x}}^2+1}{\mathrm{3x}}-x\right)=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{1}{\mathrm{3x}}=0\Rightarrow$ $y=x$ е коса асимптота.

6. Се пресметува првиот извод:

$y^{\text{'}}=\frac{\mathrm{6x}\cdot \mathrm{3x}-({\mathrm{3x}}^2+1)3}{{\mathrm{9x}}^2}=\frac{{\mathrm{3x}}^2-1}{{\mathrm{3x}}^2}$ .

Се определуваат стационарни точки:

$y^{\text{'}}=0\Rightarrow \frac{{\mathrm{3x}}^2-1}{{\mathrm{3x}}^2}=0\Rightarrow {\mathrm{3x}}^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вредноста на функцијата во овие точки е:

$y\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{3{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1}{3\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $y\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{3{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1}{-3\frac{\sqrt{3}}{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

и стационарни точки се: $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ и $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ .

Интервали на монотоност:

Со двете стационарни точки формираме четири интервали на монотоност во кои го испитуваме знакот на првиот извод. Знакот на првиот извод $y^{\text{'}}=\frac{{\mathrm{3x}}^2-1}{{\mathrm{3x}}^2}$ ќе зависи само од знакот на броителот, бидејќи именителот е квадрат и како таков тој е секогаш позитивен. Броителот е квадратна равенка и тој ќе биде негативен за вредности меѓу неговите нули (стационарните точки), а позитивен надвор од тој интервал. Затоа интервалите на монотоност се:

на $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ $y^{\text{'}}>0\Rightarrow$ функцијата расте,

на $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},0\right)$ функцијата опаѓа,

на $\left(\mathrm{0,}\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ функцијата опаѓа,

на $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$ $y^{\text{'}}>0\Rightarrow$ функцијата расте.

7. Го пресметуваме вториот извод:

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{\mathrm{6x}\cdot {\mathrm{3x}}^2-({\mathrm{3x}}^2-1)\mathrm{6x}}{{\mathrm{9x}}^4}=\frac{\mathrm{6x}({\mathrm{3x}}^2-{\mathrm{3x}}^2+1)}{{\mathrm{9x}}^4}=\frac{2}{{\mathrm{3x}}^3}$ .

Знакот на вториот извод ќе зависи само од знакот на именителот, односно за и затоа функцијата ќе има максимум за негативната стационарна точка, а за $x>0\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}>0$ и позитивната стационарна точка е минимум. Екстремите на функцијата се: max $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ и min $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ .