3.1 Таблица на изводи од елементарни функции и правила за диференцирање

Таблица на изводи од елементарни функции и правила за диференцирање

Преку дефиницијата на извод, за секој тип елементарна функција може да се пресмета изводот. Но пресметувањето на изводот по дефиниција значи негово барање преку гранична вредност, што не секогаш е брз и лесен начин на пресметување. Затоа за секоја елементарна функција е пресметан изводот по дефиниција и се дава таблица на изводи од елементарните функции.

Таблица на изводи од елементарни функции

Правила за диференцирање

Најчесто функците за кои се бара да им се определи изводот се зададени преку збир (разлика), производ или количник од функции. Затоа во вид на теореми со доказ ќе ги прикажеме правилата за пресметување на збир (разлика), производ и количник од диференцијабилни функции. За таа цел нека се дадени две диференцијабилни функции $f(x)$ и $g(x)$ , што значи дека постојат изводите

$\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)}{\mathrm{\Delta x}}=f^{\text{'}}(x)$

и

$\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)}{\mathrm{\Delta x}}=g^{\text{'}}(x)$ .

Извод од збир на функции

Теорема 1.

Да се докаже дека

${\left[f(x)+g(x)\right]}^{\prime }=f^{\text{'}}(x)+g^{\text{'}}(x)\text{.}$

Доказ.

Теоремата ќе се докаже со пресметување на изводот по дефиниција.

Ако

$y=f(x)+g(x)$ ,

тогаш

$\mathrm{\Delta y}=f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)+g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)$ .

Пресметувајќи го изводот по дефиниција се добива

$y^{\text{'}}={\left[f(x)+g(x)\right]}^{\prime }=$

$=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)+g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)}{\mathrm{\Delta x}}=$

$\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)}{\mathrm{\Delta x}}+\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)}{\mathrm{\Delta x}}=f^{\text{'}}(x)+g^{\text{'}}(x)$

што значи дека

${\left[f(x)+g(x)\right]}^{\prime }=f^{\text{'}}(x)+g^{\text{'}}(x)$ .

Извод од производ на функции

Теорема 2.

Да се докаже дека

${\left[f(x)g(x)\right]}^{\prime }=f^{\text{'}}(x)g(x)+f(x)g^{\text{'}}(x)$ .

Доказ.

Нека

$y=f(x)g(x)$ ,

тогаш нараснувањето на функцијата е

$\mathrm{\Delta y}=f(x+\mathrm{\Delta x})g(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)g(x)$

и додавајќи го и одземајќи го од десната страна изразот

$f(x)g(x+\mathrm{\Delta x})$

се добива

$\mathrm{\Delta y}=f(x+\mathrm{\Delta x})g(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)g(x)+$

$+f(x)g(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)g(x+\mathrm{\Delta x})=$

$=\left[f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)\right]g(x+\mathrm{\Delta x})+f(x)\left[g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)\right]$ .

Со примена на дефиницијата за извод на функцијата $y=f(x)g(x)$ се добива

$\begin{array}{}{y}^{\text{'}}={\left[f(x)g(x)\right]}^{\prime }=\\ \underset{}{\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}}=\\ \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)}{\mathrm{\Delta x}}\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}g(x+\mathrm{\Delta x})+f(x)\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)}{\mathrm{\Delta x}}=\\ f^{\text{'}}(x)g(x)+f(x)g^{\text{'}}(x)\end{array}$

или

${\left[f(x)g(x)\right]}^{\prime }=f^{\text{'}}(x)g(x)+f(x)g^{\text{'}}(x)$ .

Последица.

${\left[\text{cf}(x)\right]}^{\prime }=c{f}^{\text{'}}(x),c-\text{const}\text{.}$

Извод од количник на функции

Теорема 3.

Да се докаже дека

${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\text{'}}(x)g(x)-f(x)g^{\text{'}}(x)}{g^2(x)}\text{.}$

Доказ.

Нека

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$ ,

тогаш

$\mathrm{\Delta y}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})}{g(x+\mathrm{\Delta x})}-\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})g(x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta x})}{g(x+\mathrm{\Delta x})g(x)}$ .

Додавајќи го и одземајќи го од броителот изразот $f(x)g(x)$ се добива

$\mathrm{\Delta y}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})g(x)-f(x)g(x+\mathrm{\Delta x})+f(x)g(x)-f(x)g(x)}{g(x+\mathrm{\Delta x})g(x)}=$

$=\frac{\left[f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)\right]g(x)-f(x)\left[g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)\right]}{g(x+\mathrm{\Delta x})g(x)}\text{.}$

Пресметувајќи го изводот по дефиниција за функцијата $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ се добива

$y^{\text{'}}={\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=$

$=\underset{}{\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}}=$

$=\frac{\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{f(x+\mathrm{\Delta x})-f(x)}{\mathrm{\Delta x}}g(x)-f(x)\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}\frac{g(x+\mathrm{\Delta x})-g(x)}{\mathrm{\Delta x}}}{\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\text{lim}}g(x+\mathrm{\Delta x})g(x)}=$

$=\frac{f^{\text{'}}(x)g(x)-f(x)g^{\text{'}}(x)}{g^2(x)}$

што докажува дека

${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\text{'}}(x)g(x)-f(x)g^{\text{'}}(x)}{g^2(x)}$ .