2.1 Kwadraatsvoltooiing

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Kwadraatsvoltooiing

Ons het gesien dat die vergelyking in die vorm:

a^{2} x^{2} - b^{2}

bekend is as die verskil in vierkante en kan as volg gefaktoriseer word:

(a x - b) (a x + b) .

Hierdie eenvoudige faktorisering lei na 'n ander tegniek om kwadratiese vergelykings op te los wat bekend staan as kwadraatsvoltooiing .

Ons wys met 'n eenvoudige voorbeeld, deur te probeer om vir $x$ op te los in:

x^{2} - 2 x - 1 = 0 .

Ons kan nie maklik faktore van hierdie term vind nie, maar die eerste twee terme lyk soortgelyk aan die eerste twee terme van die volmaakte vierkant:

{(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1 .

Ons kan egter kul en 'n volmaakte vierkant skep deur 2 aan beide kante van die vergelyking te voeg.

\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 1 & = & 0 \\ x^{2} - 2 x - 1 + 2 & = & 0 + 2 \\ x^{2} - 2 x + 1 & = & 2 \\ {(x - 1)}^{2} & = & 2 \\ {(x - 1)}^{2} - 2 & = & 0 \end{matrix}

Ons weet dat:

2 = {(\sqrt{2})}^{2}

wat beteken dat:

{(x - 1)}^{2} - 2

is 'n verskil van vierkante. Ons kan dus skryf:

{(x - 1)}^{2} - 2 = [(x - 1) - \sqrt{2}] [(x - 1) + \sqrt{2}] = 0 .

Die oplossing vir $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ is dus:

(x - 1) - \sqrt{2} = 0

(x - 1) + \sqrt{2} = 0 .

Dit beteken $x = 1 + \sqrt{2}$ of $x = 1 - \sqrt{2}$ . Hierdie voorbeeld toon die gebruik van kwadraatsvoltooiing om 'n kwadratiese vergelyking op te los.

Metode: los kwadratiese vergelykings op deur kwadraatsvoltooing

Skryf die vergelyking in die vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ . bv. $x^{2} + 2 x - 3 = 0$
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking. Bv. $x^{2} + 2 x = 3$
Indien nodig stel die koëffisiënt van $x^{2}$ = 1, deur te deel deur die bestaande koëffisiënt.
Neem die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking. Bv. in $x^{2} + 2 x = 3$ , die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term is 1 en $1^{2} = 1$ . Daarom voeg ons 1 aan albei kante by om $x^{2} + 2 x + 1 = 3 + 1$ te kry.
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant: ${(x + 1)}^{2} - 4 = 0$
Jy moet dan in staat wees om die vergelyking in terme van die verskil in vierkante te faktoriseer en dan vir $x$ op te los: $(x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = 0$

Los op:

x^{2} - 10 x - 11 = 0

deur kwadraatsvoltooiing.

Skryf die vergelyking in die vorm $a x^{2} + b x + c = 0$
$x^{2} - 10 x - 11 = 0$
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking
$x^{2} - 10 x = 11$
Kyk dat die koëffisiënt van die term $x^{2}$ 1 is
Die koëffisiënt van die term $x^{2}$ is 1.
Neem die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking
Die koëffisiënt van die term $x$ is -10. Helfte van die koëffisiënt van die term $x$ sal wees $\frac{(- 10)}{2} = - 5$ en die kwadraat sal wees ${(- 5)}^{2} = 25$ . Dus:

$x^{2} - 10 x + 25 = 11 + 25$
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant
${(x - 5)}^{2} - 36 = 0$
Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante
${(x - 5)}^{2} - 36 = 0$

$[(x - 5) + 6] [(x - 5) - 6] = 0$
Los die onbekende waarde op
$\begin{matrix} [x + 1] [x - 11] & = & 0 \\ ∴ x = - 1 & of & x = 11 \end{matrix}$

Los op:

2 x^{2} - 8 x - 16 = 0

deur kwadraatsvoltooiing.

Skryf die vergelyking in die vorm $a x^{2} + b x + c = 0$
$2 x^{2} - 8 x - 16 = 0$
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking
$2 x^{2} - 8 x = 16$
Kyk dat die koëffisiënt van die term $x^{2}$ 1 is.
Die koëffisiënt van die term $x^{2}$ is 2. Deel dus beide kante deur 2:

$x^{2} - 4 x = 8$
Neem die helfte van die koëffisiënt van die $x$ -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking
Die koëffisiënt van die term $x$ is -4; $\frac{(- 4)}{2} = - 2$ en ${(- 2)}^{2} = 4$ . Dus:

$x^{2} - 4 x + 4 = 8 + 4$
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant
${(x - 2)}^{2} - 12 = 0$
Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante
$[(x - 2) + \sqrt{12}] [(x - 2) - \sqrt{12}] = 0$
Los die onbekende waarde op
$\begin{matrix} [x - 2 + \sqrt{12}] [x - 2 - \sqrt{12}] & = & 0 \\ ∴ x = 2 - \sqrt{12} & or & x = 2 + \sqrt{12} \end{matrix}$
Die laaste drie stappe kan ook op 'n ander manier gedoen word
Laat die linkerkant as 'n volkome vierkant geskryf

${(x - 2)}^{2} = 12$
Kry die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking
$x - 2 = \pm \sqrt{12}$
Los op vir $x$
Dus $x = 2 - \sqrt{12}$ of $x = 2 + \sqrt{12}$

Vergelyk met antwoord in stap 7.

Khan academy video on solving quadratics - 1

Kwadraatsvoltooiing oefeninge

Los die volgende vergelykings op deur kwadraatsvoltooiing:

$x^{2} + 10 x - 2 = 0$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$
$x^{2} + 8 x - 5 = 0$
$2 x^{2} + 12 x + 4 = 0$
$x^{2} + 5 x + 9 = 0$
$x^{2} + 16 x + 10 = 0$
$3 x^{2} + 6 x - 2 = 0$
$z^{2} + 8 z - 6 = 0$
$2 z^{2} - 11 z = 0$
$5 + 4 z - z^{2} = 0$

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask

	1 Microeconomics 01 What Is Economics? By OpenStax Start Flashcards
	Art History ARTH209 20th Century By Rebecca Butterfield Start Quiz
	Biology Final By Anonymous User Start Quiz
	7 AP 07 Axial Skeleton Essay By OpenStax Start Flashcards
	Macroeconomics By OpenStax Read Online Course
	1 Neuroscience Exam 2004 1 By David Corey Start Exam
	English Vocabulary By Jordon Humphreys Start Quiz
	3 Sociology 03 Culture MCQ By OpenStax Start Quiz
	Algebra and trigonometry By OpenStax Read Online Course
	6 AP 06 Skeletal System MCQ By OpenStax Start Quiz