15.3 La transformada inversa de z

Dado $$X(z)=\frac{z}{z-\alpha }$$ Con un ROC de $$\left|z\right|> \alpha$$ Al “inspeccionar” podemos determinar que $$x(n)=\alpha ^{n}u(n)$$

Encuentre la transformada inversa-z de $$X(z)=\frac{1+2z^{(-1)}+z^{-2}}{1-3z^{(-1)}+2z^{-2}}$$ Donde el ROC es $\left|z\right|> 2$ . En este caso $M=N=2$ , así que tenemos que la división larga para obtener $$X(z)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}+\frac{7}{2}z^{(-1)}}{1-3z^{(-1)}+2z^{-2}}$$ Tenemos que factorizar el denominador. $$X(z)=2+\frac{-1+5z^{(-1)}}{(1-2z^{(-1)})(1-z^{(-1)})}$$ Ahora utilizamos la expansión de fracciones parciales. $$X(z)=\frac{1}{2}+\frac{A_1}{1-2z^{(-1)}}+\frac{A_2}{1-z^{(-1)}}=\frac{1}{2}+\frac{\frac{9}{2}}{1-2z^{(-1)}}+\frac{-4}{1-z^{(-1)}}$$ Ahora cada término se puede invertir usando el método de inspección y la tabla de transformada-z. ya que la ROC es $\left|z\right|> 2$ , $$x(n)=\frac{1}{2}\delta (n)+\frac{9}{2}2^{n}u(n)-4u(n)$$

Ve la siguiente transformada -z de la secuencia de tamaño finito .

Suponga $$X(z)=\log_n(1+\alpha z^{(-1)})$$ Al notar que $$\log_n(1+x)=\sum_{n=1}$$∞ -1 n 1 x n n Entonces $$X(z)=\sum_{n=1}$$∞ -1 n 1 α n z n n Por lo tanto $$X(z)=\begin{cases}\frac{-1^{(n+1)}\alpha ^n}{n} & \text{if $n\ge 1$}\\ 0 & \text{if $n\le 0$}\end{cases}()$$