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Calculemos la transformada de Fourier en tiempo discreto para la secuencia del exponencial decadente , donde la secuencia del Escalón unitario. Al remplazar la expresión de la señal la formula de la transformada de Fourier.
La suma es un caso especial de series geométricas .
Usando la relación de Euler, podemos expresar la magnitud y elángulo de este espectro.
No importa que valor de escojamos, las formulas anteriores demuestran claramente la naturaleza periódica del espectro de señales discretas en el tiempo. muestra como el espectro es un función periódica. Tan solo tenemos que considerar el espectro entre y para definirla unambiguosamente. Cuando , tenemos un espectro de pasa bajas–el espectro desaparece cuando la frecuencia incrementa de a —con una incrementa nos lleva a un contenido mayor de frecuencias bajas; para ,tenemos un espectro de pasa altas. ( ).
Análogo a una señal de pulso análogo encontramos el espectro de la secuencia de pulso de tamaño- pulse sequence.
La transformada de Fourier de esta secuencia tiene la forma de una serie geométrica truncada.
Para las llamadas series geométricas finitas, sabemos que
Derive esta formula para la formula de series geométrica finitas. El“truco”es el considerar la diferencia entre la suma de las series y la suma de las series multiplicada por .
Aplicando este resultado da ( .)
El radio de las funciones de seno tiene la forma genérica de , que es mejor conocida como la función de sinc discreta , . Por lo tanto, nuestra transformada puede ser expresada como . El espectro del pulso discreto contiene muchas ondulaciones, las cuales el numero incrementa con , la duración del pulso.
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