10.2 Convergencia uniforme de secuencias de funciones.

Convergencia uniforme de secuencias de funciones

para esta discusión, solo consideraremos las funciones con $g_n$ donde $$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$

Convergencia Uniforme

La secuencia $(n, \left\{1\right\})$∞ g n converge uniformemente a la funció $g$ si para cada $\epsilon > 0$ existe un entero $N$ tal que $n\ge N$ implica que

$\left|g_n(t)-g(t)\right|\le \epsilon$

para todo $t\in \mathbb{R}$ .

Problems

Pruebe rigurosamente si las siguientes funciones convergen puntualmente o uniformemente, o ambas.

• $g_n(t)=\frac{\sin t}{n}$
• $g_n(t)=e^{\frac{t}{n}}$
• $g_n(t)=\begin{cases}\frac{1}{nt} & \text{if $t> 0$}\\ 0 & \text{if $t\le 0$}\end{cases}$