10.1 Die trig funksies en 2d probleme

Definisies van die trigonometriese funksies

Ons is bekend met funksies in die vorm $f\left(x\right)$ , waar $f$ die funksie en $x$ die veranderlike is. Byvoorbeeld:

Die basis van trigonometrie is die trigonometriese funksies . Daar is drie basiese trigonometriese funksies:

1. sinus
2. cosinus
3. tangens

Dit word afgekort na:

1. sin
2. cos
3. tan

Hierdie funksies word gedefinieer vanaf 'n reghoekige driehoek , 'n driehoek waar een interne hoek 90 ${}^{\circ }$ is.

Beskou 'n reghoekige driehoek.

In die reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hulle geplasing in verhouding tot die hoek $\theta$ . Die teenoorstaande sy vanaf die regte hoek word die skuinssy genoem, die sy aan die oorkant van $\theta$ word die teenoorstande sy genoem, en die sy langs $\theta$ word die aangrensende sy genoem. Let daarop dat die keuse van 'n nie-90-graad binnehoek arbitrêr is. Jy kan enige binnehoek kies en dan die aangrensende en teenoorgestelde sye dienooreenkomstig definieer. Die skuinssy bly egter dieselfde ongeag na watter interne hoek jy verwys.

Ons definieer die trigonometriese funksies as volg:

Hierdie funksies gee die verwantskap tussuen die sylengtes en die binnehoeke van 'n reghoekige driehoek.

Een manier om die definisies te memoriseer is om die volgende Engelse geheuehulpmiddel te gebruik wat dit miskien makliker maak om te onthou:

Jy mag ook hoor mense sê Soh Cah Toa. Dit is net 'n ander manier om die trigonometriese funksies te onthou.

Ondersoek: definisies van trigonometriese funksies

1. In elk van die volgende driehoeke, sê watter van $a$ , $b$ en $c$ die skuinssy, die teenoorstaande sy en die aangrensende sy van die driehoek is met betrekking tot die gemerkte hoek.

   

2. Voltooi elk van die volgende. Die eerste een is vir jou gedoen:

   

   $$\begin{array}{ccc}\hfill a)sin\widehat{A}& =& \frac{\mathrm{teenoorstaande\; sy}}{\mathrm{skuinssy}}=\frac{CB}{AC}\hfill \\ \hfill b)cos\widehat{A}& =& \\ \hfill c)tan\widehat{A}& =\end{array}$$
   $$\begin{array}{ccc}& d)& sin\widehat{C}=\hfill \\ & e)& cos\widehat{C}=\hfill \\ & f)& tan\widehat{C}=\hfill \end{array}$$
3. Voltooi elk van die volgende sonder 'n sakrekenaar:

   

   $$\begin{array}{ccc}\hfill sin60& =& \\ \hfill cos30& =& \\ \hfill tan60& =\end{array}$$

   

   $$\begin{array}{ccc}\hfill sin45& =& \\ \hfill cos45& =& \\ \hfill tan45& =\end{array}$$

Vir die meeste hoeke $\theta$ is dit baie moeilik om die waardes van $sin\theta$ , $cos\theta$ en $tan\theta$ te bereken. 'n Mens moet gewoonlik 'n sakrekenaar gebruik om dit te doen. Ons het egter in die bogenoemde aktiwiteit gesien ons kan hierdie waardes vir 'n paar spesiale hoeke uitwerk. Sommige van hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder, saam met die waardes van die trigonometriese funksies van hierdie hoeke. Onthou dat die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek Pythagoras se stelling moet gehoorsaam. Die vierkant van die skuinssy (oorkant die 90 grade hoek) is gelyk aan die som van die vierkante van die ander twee sye.

Hierdie waardes is nuttig om 'n probleem waar trigonometriese funksies betrokke is op te los sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.

Kry die lengte van x in die volgende driehoek.

1. Stel vas watter trigonometriese funksie jy benodig

   In hierdie geval werk ons met 'n hoek van ${50}^{\circ }$ , die teenoorstaande sy en die skuinssy.

   Dus moet jy $sin$ gebruik.

   $$sin{50}^{\circ }=\frac{x}{100}$$
2. Herrangskik die vergelyking om $x$ op te los
   $$\Rightarrow x=100\times sin{50}^{\circ }$$
3. Gebruik jou sakrekenaar om die antwoord te kry

   Gebruik die sin-knoppie op jou sakrekenaar.

   $$\Rightarrow x=76.6\mathrm{m}$$

Vind die waarde van $\theta$ in die volgende driehoek.

1. Stel vas watter trigonometriese funksie jy benodig

   In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die skuinssy ten opsigte van die hoek $\theta$ .

   Dus moet jy $tan$ gebruik.

   $$tan\theta =\frac{50}{100}$$
2. Bereken die breuk as 'n desimale getal
   $$tan\theta =0.5$$
3. Gebruik jou sakrekenaar om die hoek te kry

   Omdat jy die hoek wil kry,

   gebruik ${tan}^{-1}$ op jou sakrekenaar.

   Moenie vergeet om jou sakrekenaar na 'degree' modus te stel nie!

   $$\theta =26.6^{\circ }$$

In die vorige voorbeeld het ons ${\tan }^{-1}$ gebruik. Dit is eenvoudig die inverse van die tan-funksie. Sin en cos het ook inverses. Al wat dit beteken, is dat ons die hoek wil vind wat die uitdrukking waar maak.

Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy tot dusver geleer het.

Hoe om sylengtes te kry

Kry die lengtes van die sye wat met letters gemerk is. Gee die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke.

Twee-dimensionele probleme

Ons kan die trigonometriese funksies gebruik om probleme in twee dimensies wat reghoekige driehoeke bevat, op te los. As jy byvoorbeeld een van die hoeke van 'n vierhoek wil kry, kan jy 'n reghoekige driehoek konstrueer en die trigonometriese funksies gebruik om die hoek te bereken. Dit sal duideliker word namate jy deur die voorbeelde werk.